Позволяет судить о степени разброса мгновенных значений, принимаемых отдельными реализациями в фиксированном сечении t, относительно среднего значения

Есть среднее значение процесса Х(t) в текущий момент времени t; усреднение проводится по всему ансамблю реализаций процесса.

Дисперсия

(22)

Двумерный центральный момент

(23)

называется функцией корреляции случайного процесса Х(t). Эта моментная функция характеризует степень статистической связи тех случайных величин, которые наблюдаются при t=t₁ и t=t₂. Сравнивая формулы (17), (18), можно заметить, что при совмещении сечений функция корреляции численно равна дисперсии:

R(t₁, t₂) | t₁=t₂=t = σ²(t) (24)

Стационарные случайные процессы. Так принято называть случайные процессы, статистические характеристики которых одинаковы во всех сечениях.

Говорят, что случайный процесс стационарен в узком смысле, если любая его n-мерная плотность вероятности инвариантна относительно временного сдвига τ:

р(х₁,...,x_n, t₁,..., t_n) = р(х₁,...,x_n, t₁+τ,..., t_n+τ) (25)

Если же ограничить требования тем, чтобы математическое ожидание m и дисперсия σ процесса не зависели от времени, а функция корреляции зависела лишь от разности τ =| t₂‑t₁|, т.е. R(t₁, t₂) = R(τ) то подобный случайный процесс будет стационарен в широком смысле.

Понятно, что из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле.

Свойство эргодичности. Стационарный случайный процесс называют эргодическим, если при нахождении его моментных функций усреднение по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени. Операция усреднения выполняется над единственной реализацией x(t), длительность Т, которой теоретически может быть сколь угодно велика. Обозначая усреднение по времени угловыми скобками, запишем математическое ожидание эргодического случайного процесса:

(26)

которое равно постоянной составляющей выбранной реализации.

Дисперсия подобного процесса Т

(27)

Поскольку величина <x²> представляет собой среднюю мощность реализации, а величина m² — мощность постоянной составляющей, дисперсия имеет наглядный смысл мощности флуктуационной составляющей эргодического процесса.

Аналогично находят функцию корреляции:

(28)

Пример: Рассмотрим нормальную (гауссовою) с.в.,, временное представление которой показано на рис. 5 а, что характерно для внутренних шумов приемного устройства, каналов связи и т.д.

Плотность распределения вероятности имеет вид:, которой показан на рис. 5 б и 5 в.

Где ─ дисперсия с.в., m _x ─математическое ожидание.

Величина ─может быть определена как расстояние между точками перегиба кривой плотности вероятности, т.е. определяет степень размытости этой кривой вдоль оси абсцисс.

Очень важна центральная предельная теорема, согласно которой сумма независимых с.в. с ростом их числа становится распределенной нормально, т.е. если сумма содержит лишь большое число слагаемых, вклад которых одинаково мал, то суммарный сигнал оказывается распределенным по нормальному (Гауссову закону).

Типичная кривая корреляционной функции случайного стационарного процесса приведена на рис. 6.

Т.е. дисперсия стационарного процесса определяется выражением.

Если по истечении времени корреляционная функция уменьшается до весьма малого значения (например, до 1…5%), то величину называют временем (или интервалом) корреляции. При этом величины и можно считать практически независимыми.

Рис. 5. Нормальный закон распределения случайной величины.

t

Рис. 6. График корреляционной функции стационарного случайного процесса

Дата добавления: 2013-12-12