Найпростіші властивості границь векторних послідовностей

Векторні послідовності. Поняття границі векторної послідовності

Теорема Больцано-Вейєрштрасса

Теорема 2 (Больцано-Вейєрштрасса). Будь-яка нескінченна обмежена множина має хоча б одну граничну точку.

Доказ. Припустимо, що це не так: нескінченна обмежена множина не має жодної граничної точки. Тоді можна сказати, що містить у собі всі свої граничні точки, тобто є замкненою. Оскільки множина замкнена і обмежена, вона компактна. Для кожної точки множини можна побудувати кулю, яка не містить інших точок, оскільки кожна точка не є граничною для цієї множини. Сукупність таких куль є нескінченною і покриває, але з цієї сукупності неможливо виділити скінченну сукупність, яка покриває. Це суперечить компактності множини. Наше припущення є хибним.

Нехай будь-якому ставиться в співвідношення деяка точка (чи вектор). Тоді кажуть, що в просторі визначена векторна послідовність.

Визначення 5. Точка називається границею векторної послідовності і позначається:, якщо

для, що для виконується:.

Геометричний зміст: Точка є границею векторної послідовності, якщо будь-який окіл точки в просторі містить нескінченно багато елементів послідовності, а поза околом їх може бути лише скінченна кількість.

Приклад. Нехай подана векторна послідовність, для якої. Довести, що.

За визначенням 5 треба показати, що

, що для:.

.

Якщо, то:

.

Таким чином, нерівність виконується для нескінченної кількості елементів послідовності, номери яких, що й потрібно було довести.

Теорема 3. Якщо має границю, то така границя одна.

Доказ. Самостійно.

Визначення 6. Послідовність називається обмеженою, якщо існує така куля, яка містить всі елементи цієї послідовності, тобто для елементів послідовності виконується нерівність.

Теорема 4. Нехай збігається, тоді - обмежена послідовність.

Зауваження. Не будь-яка обмежена послідовність є збіжною.

Теорема 5 (про покоординатну збіжність). Для того, щоб, збігалася до точки необхідно і достатньо, щоб для кожного значення відповідна числова послідовність координат.

Доказ. Необхідність. Нехай. За визначення границі векторної послідовності це означає, що

для, що для виконується:.

Візьмемо довільно конкретне значення. Нехай. Тоді

,

а це за визначенням границі числової послідовності і означає, що.

Достатність. Нехай для:.

,

,

...

.

Нехай. Тоді для і для всі попередні нерівності виконуються одночасно, а тоді:

,

тобто,

що говоре про те, що.

Теорема 6. Нехай, - векторні послідовності в просторі, і,. Тоді послідовності, (тут - скалярний добуток) також є збіжними і

,.

Дата добавления: 2013-12-12