Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Системы линейных уравнений и их матрицы




СОДЕРЖАНИЕ

Часть 1.

ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

И.Н. Реутова

 

 

 

учебное пособие

 

 

Мариуполь

ГВУЗ «ПГТУ»

УДК 519.612: 517.951(042.4)

 

Утверждено на заседании кафедры высшей математики

Протокол № 1 от 07.09.2011г.

 

 

Рекомендовано к изданию учебно-методической комиссией

факультета информационных технологий

Протокол №2 от 11.10.2011г.

 

 

Рецензент: С.П. Десятский, кандидат физико-математических наук, доцент, государственное высшее учебное заведение «Приазовский государственный технический университет»  

 

 

    Реутова И.Н. Конспект лекций по алгебре и геометрии. Часть 1: учебное пособие / И.Н. Реутова. Часть 1. – Мариуполь: ПГТУ, 2011. – 130 с.

 

Учебное пособие содержит 18 лекций по курсу «Алгебра и геометрия» в объеме программы этого курса для студентов специальности «Прикладная математика».

В него вошли такие разделы как системы линейных уравнений, определители, матрицы, комплексные числа, векторная алгебра, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Изложение материала сопровождается примерами решения типовых задач.

 

 

ЛЕКЦИЯ 1. Системы линейных уравнений и их матрицы. Сведение системы линейных уравнений к ступенчатому виду (метод гаусса)……………………………………………...    
ЛЕКЦИЯ 2. Перестановки и подстановки. Определитель n -го порядка …………………………………………………….  
ЛЕКЦИЯ 3. Свойства определителей ………………………………….  
ЛЕКЦИЯ 4. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей. Правило Крамера ……………………….  
ЛЕКЦИЯ 5. Матрицы. Операции над матрицами …………………….  
ЛЕКЦИЯ 6. Обратная матрица. Элементарные матрицы и их применение ………………………………………………..  
ЛЕКЦИЯ 7. Векторное n-мерное пространство. Линейная зависимость векторов. Ранг матрицы. Общая теория систем линейных уравнений ……………………………..    
ЛЕКЦИЯ 8. Некоторые общие понятия алгебры. Поле комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел ……………………………………………………….    
ЛЕКЦИЯ 9. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Действия с комплексными числами в тригоно­метрической форме. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа ………………………………………  
ЛЕКЦИЯ 10. Основные понятия векторной алгебры. Линейные операции над векторами и их свойства. Линейно зависимые (независимые) системы векторов. Базис. Координаты вектора ……………………………………...  
ЛЕКЦИЯ 11. Проекция вектора на ось. Геометрический смысл декартовой системы координат. Скалярное произведение векторов …………………………………...  
ЛЕКЦИЯ 12. Векторное, смешанное и двойное векторное произведение векторов …………………………………...  
ЛЕКЦИЯ 13. Понятие об уравнении линии. Прямая на плоскости …..  
ЛЕКЦИЯ 14. Плоскость в пространстве ………………………………..  
ЛЕКЦИЯ 15. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве ……………………..  
ЛЕКЦИЯ 16. Кривые второго порядка ………………………………….  
ЛЕКЦИЯ 17. Кривые второго порядка (продолжение)………………...  
ЛЕКЦИЯ 18. Поверхности второго порядка …………………………...  
  Рекомендованная литература …………………………….  

 

 

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ МАТРИЦЫ. СВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ К СТУПЕНЧАТОМУ ВИДУ (МЕТОД ГАУССА)

 

 

Рассмотрим систему s линейных уравнений с n неизвестными. Условимся употреблять следующую символику: неизвестные будем обозначать , уравнения будем считать перенумерованными (1-е, 2-е, …, s -е), коэффициент i- го уравнения при неизвестной j будем обозначать , свободный член i- го уравнения будем обозначать . Тогда рассматриваемая система линейных уравнений (СЛУ) запишется в виде:

(1.1)

Def. Решением системы линейных уравнений (СЛУ) называется упо­ря­доченный набор чисел , которые, будучи подставленными в (1.1) вместо соответственно, обращают все уравнения в верные равенства.

Def. Если СЛУ имеет решения, то она называется совместной, в противном случае она называется несовместной.

Def. Если СЛУ имеет единственное решение, то она называется определенной, если же более, чем одно, то она называется неопределенной.

N. Система определенная, поскольку имеет единственное решение (1;2).

N. Система неопределенная, поскольку имеет множество решений вида (-k,k) где .

Def. Если в СЛУ для любых , то система называется однородной.

Def. Таблицу составленную из коэффициентов системы (1.1) называют матрицей СЛУ:

(1.2)

Если матрица состоит из s строк и n столбцов, то говорят, что она имеет размер . Обозначают матрицы большими латинскими буквами (А, B,C) или указывая общий вид элементов(,и т.д.) Если , то матрица называется квадратной.

Элементы квадратной матрицы образуют главную диагональ, а элементы - побочную диагональ.

Def. Если к матрице СЛУ приписать столбец свободных членов, то полученную матрицу называют расширенной матрицей системы (при этом столбец свободных членов часто отделяют вертикальной чертой). Обозначают расширенную матрицу СЛУ . Таким образом:

(1.3)

 

Заметим, что расширенная матрица содержит всю информацию о СЛУ.

Def. Две СЛУ с одним и тем же числом неизвестных называют равносильными (или эквивалентными), если они имеют одни и те же решения или обе несовместны.

Если СЛУ (1) равносильна СЛУ (2), то записывают: (1)(2).

Очевидно, что равносильность СЛУ обладает следующими свойствами:

1. (1) (1), т.е. СЛУ равносильна сама себе (закон рефлексивности).

2. Если (1)(2), то (2)(1) (закон симметричности)

3. Если (1)(2) и (2)(3), то (1)(3) (закон транзитивности)

Def. Элементарными преобразованиями СЛУ называют следующие:

- умножение обеих частей любого из уравнений на число ;

- перемену мест любых двух уравнений;

- прибавление к частям любого из уравнений СЛУ соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число .

Th.1.1 Если к СЛУ (1.1) применить конечное число элементарных преобразований, то получим равносильную СЛУ.

Доказательство.

Для первых двух преобразований утверждение очевидно. Покажем, что оно справедливо и для третьего вида преобразований. Поскольку любые два уравнения можно переместить на 1-е и 2-е место, то, не нарушая общности, проведем доказательство для первых двух уравнений. Умножим обе части второго уравнения на и прибавим к соответствующим частям первого уравнения. Имеем:

(1.4)

Пусть – произвольное решение СЛУ (1.1). Покажем, что является и решением (1.4). Поскольку все уравнения, кроме первого не изменились, то очевидно удовлетворяет им. Покажем, что этот набор чисел удовлетворяет и первому уравнению. Перегруппируем слагаемые в первом уравнении следующим образом:

.

Так как – решение СЛУ (1.1), то , а . Таким образом, имеем верное равенство . Значит, – решение СЛУ (1.4).

Покажем, что произвольное решение СЛУ (1.4) является решением СЛУ (1.1). Умножим второе уравнение СЛУ (1.4) на число и прибавим к первому уравнению. В результате получим СЛУ (1.1). В силу доказанного, данное преобразование сохраняет решения СЛУ (1.4) решениями СЛУ (1.1). Значит, решения СЛУ совпадают и (1.1)(1.4).




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2013-12-12; Просмотров: 324; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.022 сек.