КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Свойства векторного произведения
Векторное произведение векторов ВЕКТОРНОЕ, СМЕШАННОЕ И ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Def.Векторным произведением векторов и называется вектор определяемый следующим образом: 1) 2) образуют правую тройку векторов; 3) где угол между и
Доказательство. 1. Очевидно, что векторы и имеют одинаковые модули, коллинеарны и противоположно направлены, т.к. тройки и противоположной ориентации (рис. 12.1). Значит, . 2. Для утверждение очевидно, т.к. левая и правая часть соотношения (12.2) есть нулевой вектор.
Учитывая, угол между векторами и равен углу между векторами и то Поэтому Аналогично свойство доказывается и для . 3. Свойство 3 является непосредственным следствием свойств 1 и 2. 4. Для доказательства этого свойства воспользуемся следующей леммой.
Доказательство леммы.
Выясним направленность этих векторов. Вектор лежит в плоскости , т.к Учитывая, что можем сделать вывод, что (теорема о трех перпендикулярах). Значит, и коллинеарны. Кроме того, тройки и имеют одинаковую ориентацию. Значит, и сонаправлены. Откуда заключаем, что . Теперь докажем свойство 4. Соотношение (12.4) справедливо при Пусть Обозначим через и проекции векторов и на плоскость, перпендикулярную вектору (рис. 12.3). Построим Тогда векторы и получаются из векторов и соответственно поворотом на угол И, следовательно, А так как, согласно доказанной лемме, то . 5. Свойство 5 является непосредственным следствием свойств 1 и 4.
Доказательство.
Согласно свойству 6 векторного произведения По определению Имеем С другой стороны Теорема доказана . N. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах иесли где Решение. Упростим выражение основываясь на свойствах векторного произведения. Вычислим , по формуле 12.6. Значит, Тогда (кв. ед.) Ответ. кв. ед.
Дата добавления: 2013-12-12; Просмотров: 301; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |