Угол между прямой и плоскостью

Пересечение прямой и плоскости.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Прямая и плоскость в пространстве могут пересекаться или быть параллельными. В первом случае они имеют одну общую точку, а во втором не имеют таковых. Поэтому исследование взаимного расположения прямой и плоскости сводится к нахождению точек пересечения этих геометрических объектов. В случае пересечения прямой с плоскостью, их взаимное расположение может также характеризоваться углом, который образует прямая с плоскостью. Рассмотрим решение этих задач подробнее.

Пусть задана прямая своим параметрическим уравнением и плоскость Найдем их точки пересечения.

Для этого необходимо решить систему уравнений:

(15.13)

Подставим в 3-е уравнение выражения для .

Если то (15.13) имеет единственное решение и прямая пересекает плоскость.

Если то система (15.13) не имеет решений, а значит, прямая параллельна плоскости.

Если то система (15.13) имеет бесконечно много решений, а значит прямая лежит в плоскости.

Пусть задана прямая с направляющим вектором и плоскость с нормальным векторм Угол между прямой и плоскостью определяется углом между направляющим вектором прямой и

Рис. 15.7

нормальным вектором плоскости. Пусть – острый угол (рис. 15.7). Тогда и Но значит,

(15.14)

Если – тупой угол (рис. 15.8), то . В этом случае и

Рис.15.8

Обобщая эти два случая, получаем:

(15.15)

Дата добавления: 2013-12-12