Распределение напряжений в случае пространственной задачи

2.1. Действие сосредоточенной сили (основная задача).

На рис.3.2.(Ц2.ст.77.) показан случай действия сосредоточенной силы Р к ограничивающей полупространство плоскасти.

Требуеться определить все компоненты нормальних Ϭ и касательных напря жений τ а также перемещений w для любой точки полупространства с коор динатами x, y,z или R и β в полярной системе. В какой то точке М, определяемой полярними координатами β

и R действует нормальное напряжение ϬR по направлению радиуса R. Согласно решения Буссинеска его величина определяется выражением:

ϬR =А(cosβ)/R2

Здесь А-коэфициент, определяемый из условия равновесия, корда сумма проекцій всех сил на вертикальную ось ровна нулю. В результате

получим что А=(3/2)(Р/π).

В результате получим, что

ϬR=(3/2)(Р/π R2).cosβ

Рассмотрим величину радиального напряжения действующего на площадке паралельной ограничивающей полупространство плоскости

и направленого по радиусу R и под углом β к линии действия Р и обозначим его как ϬRI (Рис.3.3. Ц2 ст 79).,видно что

ϬRI=ϬR cosβ

cosβ=z/R

ϬRI=(3/2)(P/π)(z2 /R4)

Раскладывая данное напряжение на три направления: Z,X иY получим, что

Ϭz =(3/2)(P/π)(z3/R5)

τzy=(3/2)(P/π)(z3/R5) (3.1.)

τzx=(3/2)(P/π)(xz2/R5)

Сумма нормальних напряжений в любой точке ϴ и перемещений wz определяються выражениями:

ϴ=Ϭz + Ϭy + Ϭx= Ϭ1 +Ϭ2 + Ϭ3 =P/π(1+μ0) z/R3 (3.2/)

wz=P/ π CR (3.3.)

Здесь C=E0 / (1+ μ02)- коэфициент линейнодеформируемого полупространства,E0 –модуль общей деформации, μ0 –коэфициент Пуассона,

Положение точки М на Рис.3.3.опаределяеться двумя её координатами: z и r но так как

R=(z2+r2)1/2=z(1+(r/z)2)

То на основании одной из формул (3.1.) можно получить:

Ϭz =K(P/z2) (3.4.)

Здесь K=(3/2 π) 1/(1+ (r/z)2)5/2

Значения К для любих точек плоупространства приводяться в справочных таблицях, например у Титовича.

Если к поверхности приложено несколько сосредоточенных сил Р1 тогда напря жения определяються по формуле:

Ϭz=K1P1/ z2+ K2P2/z2+ K3 P3 / z2 (3.5.)

Здесь коэфициент К каже определяется по таблицям в зависимости от значений отношения ri / z.

Дата добавления: 2013-12-12