Источники погрешностей

Раздел 1. Элементы теории погрешностей

1.1. Постановка задачи

Важнейшим моментом при математическом моделировании является обеспечение достоверности полученных решений. Но из практики известно, что лишь в редких случаях удается найти метод решения, приводящий к точному результату. Как правило, приближенные решения используются совместно с точными решениями, поэтому, наряду с выбором вычислительного метода, с точки зрения оптимальности алгоритма его реализации, важной задачей является оценка степени точности получаемого решения. Ее принято оценивать некоторой численной величиной, называемой погрешностью.

При решении любой практической задачи необходимо всегда указывать требуемую точность результата. В связи с этим необходимо уметь:

1) зная заданную точность исходных данных, оценивать точность результата (прямая задача теории погрешностей);

2) зная требуемую точность результата, выбирать необходимую точность исходных данных (обратная задача теории погрешностей).

На рассмотренных выше этапах математического моделирования имеют место следующие источники погрешностей:

1) погрешность математической модели;

2) погрешность исходных данных (неустранимая погрешность):

3) погрешность численного метода;

4) вычислительная погрешность.

Погрешность математической модели возникает из-за стремления обеспечить сравнительную простоту ее технической реализации и доступности исследования. Нужно иметь в виду, что конкретная математическая модель (ММ), прекрасно работающая в одних условиях, может быть совершенно неприменима в других. С точки зрения потребителя, важным является правильная оценка области ее (ММ) применения.

Погрешность численного метода (погрешность аппроксимации), связана, например, с заменой интеграла суммой, с усечением рядов при вычислении функций, с интерполированием табличных значений функциональных зависимостей и т.п. Как правило, погрешность численного метода регулируема и может быть уменьшена до любого разумного значения путем изменения некоторого параметра.

Вычислительная погрешность возникает из-за округления чисел, промежуточных и окончательных результатов счета. Она зависит от правил и необходимости округления, а также от алгоритмов численного решения.

Вспомним технологию округления чисел.

1. Если старший отбрасываемый разряд меньше 5, то предшествующая ему цифра в числе не меняется.

2. Если старший отбрасываемый разряд больше 5, то предшествующая цифра в числе увеличивается на 1.

3. Если старший отбрасываемый разряд равен 5, то по общепринятому соглашению предшествующая ему четная цифра в числе не меняется (например, с = 3,965; с *» 3,96), а нечетная – увеличивается на единицу (например, с = 3,915; с *» 3,92).

4. При округлении целого числа отброшенные знаки не следует заменять нулями, надо применять умножение на соответствующие степени 10.

В основе процессов округления лежит идея минимальности разности значения с и его округления с *.

Пример 1. Округлить число с на соответствующее количество знаков:

1) с = 1,9396712; 2) с = 245,351365;

с *= 1,939671; с *= 245,35136;

с *= 1,93967; с *= 245,3514;

с *= 1,9397; с *= 245,351;

с *= 1,940; с *= 245,35;

с *= 1,94; с *= 245,4;

с *= 1,9; с *= 245;

с *= 2; с *= 2,4×10²;

с *= 2×10²;

Пример 2. Для обоснования необходимости применения округлений в целях экономии памяти приведем следующий пример. Задано выражение

S = 25,71×1,42 – 3,21×7,46 + 0,93×7,75 – 4,31×2,69.

1. Вычислить S точно:

S = 36,5082 – 23,9466 + 7,2075 – 11,5939 = 8,1752.

2. Вычислить S и округлить его до двух знаков после запятой:

S₁* = 8,18.

3. Вычислить каждое произведение с двумя знаками после запятой и просуммировать:

S₂* = 36,51 – 23,95 + 7,21 – 11,59 = 8,18.

Дата добавления: 2013-12-11