Общие замечания

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УДАРА

Основное уравнение приближенной теории гироскопов

Основное уравнение приближенной теории гироскопов полу­чается в результате применения теоремы Резаля (111.94)

и = Мо,

где и — скорость конца вектора кинетического момента L _O, М _O —
главный момент внешних сил относительно неподвижной точки О.
Вектор L _O, согласно принятым допущениям, вращается вокруг
неподвижной оси Оz с угловой скоростью ω ₂. Следовательно, по
формуле

и = ω ₂× L _O.

Подставляя значение L _O из (111.234), найдем

и = I _ζ ω ₂× ω ₁.

Таким образом,

М _O= I _ζ ω ₂× ω ₁.

Это равенство является основным уравнением в приближенной теории гироскопа. По направлению главный момент М _O перпендикулярен плоскости, определяемой векторами ω ₁ и ω ₂. Модуль век­тора М _O будет

Ударом называется особый вид движения материальной системы, когда за весьма малый промежуток времени (продолжительность удара) скорости точек системы получают конечные приращения. Удар, по Остроградскому, можно рассматривать как результат наложения нестационарных связей, быстро изменяющихся во времени. Изучая удар двух тел, следует обратить внимание на характер сил, действую­щих при ударе. Благодаря очень малой величине продолжительности удара импульсы обыкновенных, не ударных сил (сил тяжести, сил сопротивления и др.) также весьма малы. Поэтому в теории удара ими пренебрегают и учитывают только конечные импульсы мгновенных, ударных сил, достигающих больших величин. Теоретически ударные силы считаются бесконечно большими. Однако на протяжении весьма малого промежутка времени продолжительности удара они создают конечные импульсы.

Теория удара особо важна потому, что в современной технике приходится сталкиваться с такими случаями, когда быстро вращаю­щиеся детали машин при соприкосновении друг с другом ведут себя как тела при ударе.

Более глубокое исследование удара связано с определением де­формаций и напряжений, возникающих при соударении твердых тел. Эта область исследований относится к динамическим проблемам ме­ханики деформируемого твердого тела и выходит за рамки курса теоретической механики. Мы ограничимся изучением элементарной теории удара, основанной на исследованиях И. Ньютона.

Рассматривая соударение двух тел в элементарной теории удара, определим импульс мгновенных сил, скорости соударяемых тел после удара, а также потерю кинетической энергии при ударе, вызванную переходом части механической энергии в другие формы, напри­мер, в тепловую энергию неупругой деформации соударяющихся тел.

Заметим, что мгновенные силы измеряются их импульсами

где t₀ и t₀+τ — моменты, соответствующие началу и концу удара, τ — продолжительность удара.

Перемещение любой точки системы при ударе является величиной того же порядка малости, что и продолжительность удара τ.

Действительно, согласно основному уравнению динамики мате­риальной точки, имеем

откуда

Следовательно,

Но по теореме о среднем значении интеграла

Теорема доказана.

При малом значении τ величиной Δ r можно пренебречь, что и де­лают при решении задач на соударение точек материальной системы.

Дата добавления: 2013-12-12