Метод зеркальных изображений

Предполагаем что имеется следующая система: бесконечная проводящая плоскость (поверхность) и точечный заряд q находящийся в области пространства X>0 над данной проводящей поверхностью. Имеется необходимость рассчитать поле в области пространства над данной поверхностью. То есть в области X>0. (На пример в точке А)

Трудность расчёта поля в области X>0 состоит в том что ЭП созданное двумя видами зарядов, а именно точечным зарядом q и зарядом индуцированным данным точечным зарядом q на проводящей поверхности. В том случае если вблизи проводящей поверхности находится некоторый заряд, то поле данного заряда начинает действовать на свободный заряд находящийся внутри проводника. Под действием внешнего ЭП положительный заряд будет двигаться вдоль силовых линий ЭП. (Отрицательный против). Таким образом на проводящей поверхности находящейся вблизи внешнего заряженного тела появляется индуцированный заряд. Данное движение зарядов будет происходить до тех пор пока поле внутри проводника не станет равным нулю. Таким образом можно утверждать что поле в точке А как и любой другой точке X>0, создается как точечным зарядом так и зарядом индуцированным на данной проводящей поверхности. Однако воспользоваться на прямую для расчёта данного поля принципом суперпозиции затруднительно так как не известно распределение наведённого заряда на проводящей поверхности. Для расчёта электрического поля созданного такой системой применяем искусственный метод получивший название метода зеркальных изображений. Его сущность состоит в том что от системы (точечный заряд – проводящая поверхность) переходят к системе точечных зарядов (q – (-q)) причём заряд –q расположен симметрично заряду q относительно той области пространства в которой находилась бы проводящая поверхность.

Правомерность данного перехода можно объяснить строго доказанной единственностью решения первой краевой задачи. Как для системы 1 так и для системы 2 в любой точке пространства кроме точки нахождения заряда можно сформулировать уравнение Лапласа (*). Так как проводящая поверхность является бесконечной то потенциал на данной проводящей поверхности будет равен нулю. Для первой системы:

- Первая краевая задача

Для второй системы мы так же можем в любой точке пространства кроме точки нахождений заряда написать уравнение (*), а потенциал в плоскости X=0 можно определить используя принцип суперпозиции.

(=)

- потенциал в плоскости X=0 созданный положительным зарядом q; - потенциал в плоскости X=0 созданный зарядом –q.

Таким образом как для первой так и для второй системы мы сформулировали первую краевую задачу которая имеет единственное решение. Следовательно поле созданное системой 2 в области X>0 будет точно таким же в этой области как и поле созданное системой 1.

С помощью единственности решения второй краевой задачи можно обосновать принцип электростатической защиты.

Рассмотрим ситуацию: пусть имеется некоторая проводящая плоскость в нутрии которой находится заряд (семейство точечных зарядов ). Определим как внешнее электрической поле влияет на данную систему зарядов и как данная система зарядов влияет на внешнее ЭП.

Под действием поля данной системы точечных зарядов свободные заряды в данной проводящей плоскости начнут перемещаться. На внутренней части данной проводящей плоскости появится некоторый заряд суммарная величина которого Q. Величину этого заряда можно определить используя уравнение обобщающее закон Кулона. Для этого выделим внутри проводящей плоскости замкнутую поверхность S и для этой поверхности сформулируем уравнение обобщающее закон Кулона.

Q – суммарный заряд находящийся внутри проводящей плоскости.

Так ак поле внутри проводника равно нулю.

Таким образом на внутренней поверхности проводящей плоскости появится заряд равный по величине и противоположный по знаку заряду находящемуся внутри проводящей плоскости. Qn на внутренней части полости появляется за счёт его оттягивания с внешней части полости. Так как проводник в целом нейтрален то на внешней части оболочки появляется заряд распределённый по внешней части оболочки причём суммарная величина этого заряда (Qвн – Qn)

Для любой точки пространства кроме точек нахождения зарядов мы можем сформулировать уравнение (*). Так же на поверхностях внутри металлической оболочки однозначно заданы заряды. Таким образом имеется вторая краевая задача единственность решения которой мы обосновали выше. Внешнее поле (поле заряда находящегося внутри оболочки) никак не влияет на формулировку второй краевой задачи, а следовательно это поле никак не влияет на заряды находящиеся внутри полости окружённой проводящей оболочкой, апосредственно влияет на внешнее ЭП. Действительно как было показано выше (Qвн=Q) Qвн создаёт такое же поле как Q и это поле накладываясь на внешнее ЭП меняет его.

С помощью метода краевой задачи можно так же произвести расчёт сложных электростатических систем. Например используя методику краевой задачи можно рассчитать электрические характеристики конденсатора.

Простейшим конденсатором является плоский конденсатор (устройство состоящее из двух пластин S находящихся на расстоянии D друг от друга. В область пространства между пластинами можно внести диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε. При заряде конденсатора появляется положительный заряд и за счёт описанного выше явления электростатической индукции появляется такой же по величине но противоположный по знаку отрицательный заряд. Предполагаем что потенциал левой пластины равен нулю, а потенциал правой равен . В области между пластинами справедливо (*)

Таким образом для данного конденсатора мы сформулировали первую краевую задачу

Полагаем поле внутри конденсатора созданного зарядами q преобразованное краевыми эффектами уравнение (*) в декартовой системе координат можно записать следующим образом:

Интегрируя дважды по X получаем общее решение дифференциального уравнения

и - произвольные постоянные. Определить данные производные постоянные можно непосредственно из условий краевой задачи.

из второго граничного условия

Найдя выражение для функции потенциала можем найти зависимость напряжённости ЭСП от координаты X.

Учитывая что напряжённость электрического поля так же будет зависеть от Х.

- единичный вектор направленный в сторону противоположную увеличению потенциала.

Поле внутри конденсатора является однородным не зависящим от координаты Х. Определим ёмкость данного конденсатора. Общее определение ёмкости проводника – это та величина заряда проводника которую нужно дать проводнику для того чтобы ему сообщить потенциал в 1 вольт. Емкость зависит от размеров и формы проводника.

Ёмкость конденсатора рассчитывается

- разность потенциалов между обкладками конденсатора.

- поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора.

Поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора можно определить из граничного условия вблизи поверхности проводника. Условие выглядит так:

- нормальная составляющая вектора электрической индукции

Дата добавления: 2013-12-12