Проблема устойчивости атомов

Глава 1. Квантовая природа электромагнитного излучения

До конца XIX века атомы считались мельчайшими частицами вещества не имеющими внутренней структуры. Собственно термин «атом» и происходит от латинского слова неделимый. Однако открытие электронов (Дж. Томсон,1887 г.) привело к выводу о составной структуре атомов и поставило вопрос о распределении положительного заряда в них. В первоначальной модели Томпсона предполагалось, что в целом нейтральный атом представляет собой равномерно положительно заряженную сферу, в которой находятся электроны. В такой модели электроны находятся в поле квазиупругой силы и, следовательно, являются гармоническими осцилляторами, излучающими монохроматическую волну, что полностью подтверждается экспериментально. Однако модель Томсона противоречит экспериментальным результатам, полученным Э.Резерфордом в 1911 г.

В своих опытах Резерфорд пропускал -частицы через тонкую металлическую фольгу. При этом большая часть -частицы практически не отклонялась от первоначального направления. Только небольшое число частиц отклонялось на малые углы а часть даже рассеивалось назад. Опытами Резерфорда было установлено, что в целом нейтральный атом состоит из малого в сравнении с ним положительного ядра, в котором сосредоточена почти вся масса (>99%), и электронов. Согласно теореме Ирншоу, такая система не может быть устойчивой, находясь в покое. Поэтому Резерфорд пришел к так называемой планетарной модели атома, в которой электроны вращаются вокруг ядра подобно планетам солнечной системы. По законам классической электродинамики такие электроны непрерывно излучают, поскольку под действием притяжения ядра испытывают ускорение. Следовательно, электроны должны быстро (за время ~с) упасть на ядро.

Таким образом, и при учете движения электронов в рамках классической физики модель взаимодействующих по закону Кулона зарядов оказывается неустойчивой. Кроме того, при орбитальном движении, спектр излучения электрона должен быть непрерывным, а не линейчатым, как в экспериментах. В результате, устойчивость атомов и характер их спектров не могли быть объяснены в рамках классической физики.

Фотоэффект. Явное несоответствие выводов, следующих из классической теории, экспериментальным данным обнаружилось при изучении фотоэффекта. Вырывание электронов с поверхности металлов под действием электромаг­нитной волны называется внешним фотоэффектом. При внутреннем фото­эффекте в объеме вещества увеличивается концентрация свободных электронов, в результате чего увеличивается его электропроводность. Схема установки по исследованию внешнего фотоэффекта (в дальнейшем - фотоэффекта) приведена на рис. 1.1.

Рис.1.1. Схема установки для наблюдения фотоэффекта

Катод К облучается электромагнитными волнами видимого или ультрафиолетового диапазона. Амперметр А измеряет ток, протекающий между катодом и анодом Ан (фототок). Батарея источников Э.Д.С. e и переменное сопротивление R позволяют изменять как величину напряжения U между катодом и анодом, измеряемого вольтметром V. Изменяя подключение батареи, можно изменять также и знак напряжения.

Вольт-амперная характеристика фотоэффекта приведена на рис. 1.2. Здесь положительным считается напряжение, при котором катод заряжен отрицательно. С ростом напряжения U фототок растет и достигает своего максимального значения , называемого током насыщения в том случае, если все выбитые с катода заряды достигают анода. Знак U свидетельствует о том, что поверхность катода покидают отрицательные заряды – электроны. Модуль отрицательного напряжения U _З, при котором фототок прекращается, называется задерживающим напряжением.

Рис.1.2. Вольт-амперная характеристика фотоэффекта

Величина U _З позволяет определить максимальную энергию eU _З, которой обладают фотоэлектроны. Систематические исследования, выполненные профессором Московского университета А.Г. Столетовым, позволили сформулировать следующие законы фотоэффекта:

1. Фототок пропорционален интенсивности излучения.

2. Существует длина волны l _КР (красная или более точно длинноволновая граница фотоэффекта), разграничивающая области излучения, способного (l < l _КР) и неспособного (l > l _КР) вызывать фотоэффект при любой интенсивности излучения. Величина l _КР зависит от материала катода и не зависит от интенсивности излучения.

3. Энергия фотоэлектрона E линейно зависит от частоты волны и не зависит от интенсивности излучения.

4. Фототок возникает практически мгновенно после начала облучения катода. На этом свойстве - безынерционности фотоэффекта - основаны многие его практические применения.

По классическим представлениям энергия волны, а, следовательно, и энергия, поглощаемая частицей, пропорциональна интенсивности падающего излучения. Поэтому с классической точки зрения наличие красной границы при любой интенсивности и независимость энергии фотоэлектрона от интенсивности не могут быть объяснены. Время накопление энергии частицей в классической физике определяется мощностью источника. В стандартных условиях эксперимента электрон может поглотить непрерывно распространяющуюся энергию, достаточную для отрыва от металла, за время, превышающее 1 с, что противоречит безынерционности фотоэффекта.

Фотон и уравнение Эйнштейна. Для объяснения фотоэффекта Эйнштейн (1905 г.) ввел понятие фотона, согласно которому излучение переносится квантами (частицами), летящими со скоростью света. Энергия фотонов пропорциональна частоте излучения n:

. (1.1)

Коэффициент пропорциональности h = 6.62·10^-34 Дж ·с называется постоянной Планка. В тех случаях, когда вместо линейной частоты ν удобнее пользоваться круговой частотой ω используют другую константу – , связанную с константой h соотношением . Согласно специальной теории относительности, энергия такой частицы с нулевой массой покоя, движущейся со скоростью света, следующим образом связана с ее импульсом:

. (1.2)

Следовательно, импульс фотона

, (1.3)

где – длина волны света. Представление об импульсе фотона позволяет легко рассчитать световое давление. Если интенсивность света падающего по нормали к поверхности света , то число фотонов, бомбардирующих единицу поверхности за одну секунду, равно . Если свет полностью отражается зеркальной поверхностью, то каждый фотон меняет свой импульс при отражении на противоположный: . В итоге давление на единицу поверхности составит величину . Для полностью поглощающей поверхности световое давление в два раза меньше.

Фотон, попадая в металл, может отдавать свою энергию одному электрону, и, таким образом, выбивать его из металла. При вылете такой электрон теряет часть энергии A, не меньшую минимальной величины, необходимой для его освобождения (работе выхода).

. (1.4)

Уравнение (1.4), называется уравнением Эйнштейна и полностью объясняет основные законы фотоэффекта:

1. Число выбитых электронов пропорционально числу падающих квантов, а, следовательно, и интенсивности света.

2. Если энергия фотона меньше работы выхода, то его энергии недостаточно для вылета электрона, что объясняет наличие красной границы.

3. Из уравнения Эйнштейна непосредственно следует линейная зависимость энергии фотоэлектрона E от частоты волны.

4. Квант энергии поглощается электроном практически мгновенно, что объясняет безынерционость фотоэффекта.

Классический закон фотоэффекта верен при не очень больших интенсивностях света. Источники интенсивного излучения (лазеры) позволяют наблюдать маловероятные в обычных условиях процессы одновременного поглощения N> 1 фотонов, – так называемый многофотонный фотоэффект. В экспериментах N может достигать значений ~10². Модифицированное уравнение Эйнштейна в этом случае имеет вид

. (1.5)

Эффект Комптона. Явление фотоэффекта доказывает тот факт, что энергетический обмен между светом и веществом носит дискретный, квантовый характер, свидетельствующий о корпускулярной природе электромагнитного излучения. Она наиболее наглядно проявляется при взаимодей­ствии жесткого рентгеновского излуче­ния с электронами вещества. Поскольку энергия кванта в этом случае намного больше работы выхода, то электроны можно считать практически свободными.

Рис. 1.3. Диаграмма импульсов в эффекте Комптона

Поглощение фотона свободным электроном невозможно, поскольку такой процесс противоречит законам сохранения энергии и импульса. В самом деле, запишем законы сохранения энергии и импульса для такого воображаемого процесса:

( 1. 6)

откуда получаем скорость электрона , превышающую скорость света, что запрещено релятивистской теорией. Поэтому процесс взаимодействия свободного электрона с фотоном может быть только рассеянием. Это явление наблюдалось Комптоном в 1922 г. Он обнаружил, что длина волны рассеянных рентгеновских лучей вне зависимости от вещества больше, чем падающих.

Объяснение наблюдаемого эффекта было получено на основе модели абсолютно упругого столкновения фотона и электрона (рис. 1.3). В процессе столкновения световой квант с энергией передает ее часть электрону. В результате энергия рассеянного кванта оказывается меньше начальной энергии . Аналогичным образом происходит уменьшение импульса фотона от величины до . Используя законы сохранения импульса и энергии в релятивистской форме можно получить формулу Комптона для изменения длины волны светового кванта в результате столкновения:

, (1.7)

где – угол рассеяния фотона (рис. 1.3), l ₀= 2.42·10^{-12 м – так называемая комптоновская длина волны. Этот теоретический результат находится в полном согласии с опытом.}

Тепловое излучение. Еще одной важной задачей теории взаимодействия излучения и вещества является проблема излучения нагретых тел. В классической физике процесс излучения энергии веществом выглядит следующим образом. Колеблющиеся с частотой диполи вещества излучают электромагнитные волны той же частоты. Падающие на поверхность тела электромагнитные волны возбуждают вынужденные колебания диполей, что приводит к поглощению энергии.

В замкнутой системе, по второму началу термодинамики, происходит переход к термодинамически равновесному состоянию. Излучение, которым обмениваются тела такой равновесной системы, называется тепловым или равновесным. Особенно просто выглядят законы теплового излучения для абсолютно черного тела, т.е. тела, поглощающего все падающее на него излучение. Именно эти законы и будут рассматриваться в дальнейшем. Абсолютно черное тело является некоторой физической моделью, которая реализуется в реальных явлениях теплового излучения далеко не всегда. С хорошей точность абсолютно черными телами можно считать звезды, в том числе Солнце.

Тепловое излучение принято описывать в терминах энергетической светимости (в дальнейшем – светимости) R, равной мощности излучаемой единицей поверхности:

(1.8)

и плотности энергетической светимости r, равной энергетической светимости, приходящейся на единичный интервал длин волн

. (1.9)

В соответствии с определениями, светимость и ее плотность связаны соотношением

. (1.10)

Графически светимости является площадью под кривой r (l)(рис.1.5).

Рис. 1.5. Спектры излучения нагретых тел при разных

температурах

Экспериментально установлено, что

1. r (0) =r (µ) = 0 и длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности, обратно пропорциональна абсолютной температуре:

. (1.11)

Это закон смещения Вина, а постоянная b называется константой Вина.

2. Светимость пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры, т.е.

. (1.12)

Это закон Стефана-Больцмана, а постоян­ная s - постоянная Стефана-Больц­мана.

Спонтанное и стимулированное излучение. Всерасчеты излучения нагретых тел, выполненные на основе классической физики, приводили к абсурдному результату – светимость бесконечна. Чтобы описать тепловое излучение, Планк сначала подобрал простую эмпирическую формулу. Затем, для ее вывода, он ввел новую и чуждую классической физике гипотезу, согласно которой излучение и поглощение энергии электромагнитной волны веществом происходит не непрерывно, а дискретно, т.е. квантами, энергия которых определяется формулой (1.1).

Рассмотрим, как выглядит процесс излучения и поглощения с квантовой точки зрения. Частицы вещества могут находиться только в определенных дискретных стационарных состояниях с энергиями , , , …. Состояние с наименьшей энергией является устойчивым и называется основным состоянием. Частица может поглощать лишь излучение с частотой, при которой энергия фотонов равна энергии, необходимой для перехода из одного стационарного состояния с энергией в другое стационарное состояние с большей энергией так, что

. (1.13)

Возможен также обратный процесс перехода атома из возбужденного состояния в состояние с меньшей энергией, сопровождающийся излучением фотона. Излучение может происходить как самопроизвольно (спонтанно), так и вынужденно, под действием уже имеющихся фотонов с частотой n, соответствующей атомному переходу. Вынужденное излучение называют также индуцированным или стимулированным. Вероятность спонтанного излучения в единицу времени не зависит от внешних условий и для данного перехода является некоторой константой . Вероятность индуцированного излучения, так же как и вероятность поглощения фотонов, пропорциональна энергетической плотности фотонов . Эти вероятности равны и , где и – соответствующие коэффициенты индуцированного излучения и поглощения. Вероятности индуцированных прямых и обратных переходов равны и, следовательно,

. (1.14)

Формула Планка. В тепловом равновесии доля атомов в состоянии m выражается через долю атомов в состоянии n согласно распределению Больцмана:

. (1.15)

С другой стороны, в равновесии процессы излучения и поглощения идут с одинаковой интенсивностью, т.е.

. (1.16)

С учетом формул (1.15) и (1.14) получим

. (1.17)

Из квантовой теории излучения можно определить и величину отношения

. (1.18)

Дата добавления: 2013-12-12