Лекция 3. Динамика вращательного движения

Поступательное и вращательное движение твердого тела; момент инерции
тела; уравнение динамики вращательного движения; теорема Штепнера;
плоское движение; закон сохранения момента импульса.

где г₄ — радиус-вектор i-й точки (начало ИСО

1. Поступательное и вращательное
движение твердого тела

Перейдем теперь к изучению движения
протяженного абсолютно твердого тела, которое
можно рассматривать как совокупность жестко
связанных материальных точек. Такое тело
произвольной формы обладает, как мы знаем,
шестью степенями свободы.

Простейшим видом движения твердого тела
является движение, при котором тело
перемещается параллельно самому себе (на рис.3.1
АВ || А'В'). Такое движение называется
поступательным.

где М — масса тела и v — скорость любой точки
тела. Второй закон Ньютона при поступательном
движении тела записывается в виде:

выбрано на оси вращения OZ) и со — угловая
скорость точки, которая одинакова для всех точек
тела. Скорость v_{ направлена по касательной к
окружности, а по абсолютной величине

Vj = corj sinBj = coRj, (3.4)

где Rj — радиус окружности, по которой движется
точка.

или с учетом (3.4)

Отметим сразу же, что проекция момента
импульса i-й частицы на ось вращения OZ
(момент импульса относительно оси OZ)

называется моментом инерции материальной
точки относительно оси OZ.

где а — ускорение тела (любой его точки) и F_k —

внешняя сила, действующая на тело.

Другим простейшим видом движения твердого
тела является вращение тела вокруг
фиксированной в пространстве оси. При таком
движении все точки тела описывают окружности,
лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси
вращения OZ (рис.3.2), причем линейная скорость
i-й точки

2. Момент инерции твердого тела

Для получения уравнения движения для тела,
вращающегося вокруг закрепленной оси, следует
воспользоваться уравнением моментов (2.21) из
предыдущей лекции, взяв лишь проекцию этого
уравнения на ось вращения OZ:

перемещается вдоль выбранной оси OZ, и
наоборот. Если ось OZ на рис.3.4 направлена на

нас, то момент силы F_kl будет отрицательным.

Подставляя (3.7) в (3.6), получим уравнение
движения тела вокруг закрепленной оси:

относительно оси OZ. Справа в выражении (3.6)
стоит сумма проекций на ось OZ моментов
внешних сил (или сумма моментов внешних сил
относительно оси OZ). По определению

3. Уравнение динамики вращательного
движения

проходящую через точку приложения этой силы
перпендикулярно оси вращения (рис.3.3). Тогда

видим, что угловое ускорение определяется
моментами внешних сил, действующих на тело, и
его моментом инерции относительно оси
вращения подобно тому, как ускорение а при
поступательном движении определяется

внешними силами и массой тела.

Следовательно, можно сказать, что при
вращательном движении мерой инерции является
не масса тела, а его момент инерции, который,
как мы увидим позже, зависит не только от
массы, но и от формы и размеров тела, и от того,
как эта масса распределена в нем.

Дата добавления: 2013-12-12