Тема 6. Основы финансовой математики

Рыночная экономика сопровождается появлением некоторых видов деятельности, к числу которых относятся задача эффективного вложения денежных средств. Это связано с тем, что:

1) ранее ни юридические, ни физические лица свободно не располагали денежными средствами;

2) изменился порядок исчисления финансовых результатов и распределения прибыли;

3) произошла существенная переоценка роли финансовых результатов, т.е. появилась необходимость грамотного управления ими;

4) появились принципиально новые виды финансовых ресурсов, в частности, возросла роль денежных эквивалентов, в управлении которыми временной аспект имеет решающее значение;

5) произошли принципиальные изменения в вариантах инвестиционной политики; рынок открыл новые возможности приложения капитала, в частности, вложения денежных средств в коммерческие банки, участие в различного рода проектах, приобретение ценных бумаг и т.п.

Таким образом, деньги приобретают еще одну характеристику – это временная ценность. Это связано с обесцениванием денежной наличности в течение определенного промежутка времени.

Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой денежной суммы PV с условием, что через какой-то промежуток времени t будет возвращена большая сумма FV. Результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко - либо с помощью абсолютного показателя – прироста FV-PV, либо путем расчета некоторого показателя – ставки, которая рассчитывается отношением приращения исходной суммы к базовой. Ставка может рассчитываться по одной из следующих формул:

1) Темп прироста или

2) Темп снижения

В финансовых вычислениях первый показатель имеет название «процентная ставка», «процент», «доходность», «норма прибыли», а второй показатель – «учетная ставка», «дисконт».

В любой простейшей финансовой сделке всегда присутствуют три величины, две из которых заданы и одна является искомой. Процесс, в котором заданы сумма и процентная ставка называется процессом процентного наращения. Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению сумма и коэффициент дисконтирования называется процессом дисконтирования.

В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему., а во втором – от будущего к настоящему.

Настоящее Будущее

Исходная сумма

наращение Возвращенная сумма

Процентная ставка

Ожидаемая сумма

Приведенная сумма дисконтирование

Коэффициент дисконтирования

В качестве коэффициента дисконтирования может использоваться либо процентная ставка либо учетная ставка. Экономический смысл финансовых операций состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции.

Величина FV показывает будущую стоимость сегодняшней величины PV при заданном уровне доходности. Экономический смысл дисконтирования заключается во временном упорядочении денежных потоков различных временных периодов. Коэффициент дисконтирования показывает какой ежегодные процент возврата хочет или может иметь инвестор на инвестируемый капитал. В этом случае искомая величина PV показывает текущую сегодняшнюю стоимость будущей величины FV.

Предоставляя денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в в идее процентов полученных по некоторому алгоритму в течение определенного промежутка времени. Поскольку стандартным временных интервалом в финансовых операциях является год, наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процента по истечении года после получения ссуды. Известны 2 основные схемы начисления: схема простых процентов и схема сложных процентов.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы с которой происходит начисление. Пусть, исходный инвестированный капитал равен P, требуемая доходность r, тогда рахмер инвестированного капитала через n лет будет равен:

P_n= P + P₁*r + P₂*r + … + P_n*r = P(1+n*r)

Если инвестиции сделаны на условии сложных процентов, то очередной годовой доход исчисляется не с исходной суммы инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей даже и ранее начисленные невостребованные инвестором. Тогда размер инвестированного капитала будет равен:

F_n = P (1 + r)ⁿ

Например, рассчитать наращенную сумму в 1 млн.руб. при размещении суммы в банке на условиях начисления простых и сложных процентов, если годовая ставка составляет 20% и в течение 90 дней, 180 дней, 1 года, 5 лет, 10 лет.

Схема начисления	90 дней	180 дней	1 год	5 лет	10 лет
Простой процент	1,05	1,1	1,2	2,0	3,0
Сложный процент	1,0466	1,0954	1,2	2,43	6,19

Таким образом:

1) более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды мене 1 года(проценты начисляются однократно в конце периода);

2) более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает 1 год (проценты начисляются ежегодно);

3) обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности 1 год и однократном начислении процентов.

Схема простых процентов используется в практике банковских расчетов при начислении процентов по краткосрочным ссудам со сроком погашения до 1 года. В этом случае, в качестве показателя n берется величина, характеризующая удельный вес дины периода (дни, мес., кварт., полугод.) Расчет производится по формуле:

F = P (1 + t / T * r)

Пример. Выдана ссуда в размере 5 млн.руб. на 1 месяц под 130% годовых. Тогда размер платежа к погашению равен 5(1+30/360*130/100)=5,542 млн.руб.

При определении продолжительности финансовой операции принято день выдачи и день погашения считать за 1 день. В зависимости от того, чему будет равной продолжительность года (мес., кварт.) размер промежуточной процентной ставки может быть различным. Расчет может выполняться одним из трех способов:

Пример. Предоставлена сумма в размере 5 млн. руб. 25 января с погашением через 6 месяцев – 25 июня под 60% годовых. Точное число дней составляет 181, приблизительное – 180.

1) в расчет принимаются точные проценты и точное число дней периода

5*(1+181/365*0,6) = 6,487 млн.руб.

2) в расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней

5*(1+181/360*0,6) = 6,508 млн.руб.

3) в расчет принимаются обыкновенные проценты и приближенное число дней

5*(1+180/360*0,6) = 6,5 млн.руб.

Весьма распространенной операцией является учет векселей банком. В этом случае используется дисконтная ставка. Владелец векселя на сумму FV предъявляет вексель банку, который соглашается его учесть, удерживая в свою пользу часть вексельной суммы, которую называют дисконтом. Расчет осуществляется по следующей формуле:

PV = FV (1 – f * d) или PV = FV (1 - t / T * d)

Пример. Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 5 млн.руб. со сроком погашения 28.09. Вексель предъявлен 13.09. Банк согласился учесть вексель с дисконтом 75% годовых. Тогда, сумма, которую сможет получить от банка векселедержатель, составит:

PV= 5(1-15/360*0,75)=4,844 млн.руб.

Разность между суммами FV и PV представляет собой комиссионные, которые удерживает банк за предоставленную услугу и составляет 156 тыс.руб. Доход банка при учете векселей складывается из двух частей – это процент по векселю, причитающийся за время оставшееся до момента погашения векселя, и собственно комиссионные за предоставленные услуги.

Пример. Предприятие продало товар на условиях кредита с оформлением простого векселя номинальная стоимость 1,5 млн.руб., срок векселя 60 дней. Ставка процента за предоставленный кредит 90%. Через 45 дней предприятие решило учесть вексель в банке. Предложенная банком дисконтная ставка составляет: а) 85%, б) 100%. Определить суммы, полученные предприятием и банком.

1) Будущая стоимость векселя к моменту его погашения составит:

FV = 1,5*(1+60/360*0,9)=1,725 млн.руб.

2) Срочная стоимость в момент учета его банком составит:

FV= 1,5*(1+45/360*0,9)=1,669 млн.руб.

3) Предлагаемая банком сумма составит:

а) 1,725*(1-15/360*0,15)=1,664 млн.руб.

б) 1,725*(1-15/360*1_=1,663 млн.руб.

Таким образом, банк получает от операции проценты по векселю за оставшиеся 15 дней в размере 56 тыс.руб. (1,725-1,669) и комиссионные за оказанную услугу в а) 5 тыс.руб. (1,669-1,664) и в б) 16 тыс.руб. (1,669-1,663)

Достаточно обыденным являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из 2-х методов:

по схеме сложных процентов по формуле:

F_n=P (1 + r) ^w*f

или по смешанной схеме по формуле:

F_n=P (1 + r) ^w *(1 + f *r)

f – это дробная часть года,

w – целое число лет.

Пример. Банк предоставил ссуду в размере 10 тыс.руб. на 30 мес. под 30% годовых на условиях ежегодного начисления %. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока.

Fn= 10(1+0,3)^2*0,5=19,269 тыс.руб.

Fn= 10(1+0,2)²*(1+0,3*0,5)=19,435 тыс.руб.

Таким образом, банку выгодна смешанная схема начисления процента.

Встречаются финансовые контракты, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов и расчеты производятся по следующей формуле:

- сложные проценты,

- простые проценты

m – количество платежей в году,

r – годовая ставка.

Дата добавления: 2013-12-12