Потенциальное поле сил. Связь между силой и потенциальной энергией

Силы, работа которых не зависит от формы тра­ектории тела, а определяется только его началь­ным и конечным положениями, называются кон­сервативными или потенциальными. Работа потенциальных сил по любому замкнутому пути равна нулю. Примером консервативных сил явля­ются сила тяготения, сила тяжести и упругая сила.

В системе, где действуют только потенциаль­ные силы, всякая работа этих сил связана с изме­нением конфигурации тел системы. Если силы, действующие в системе, совершают положительную работу, то конфигурация при этом всегда изменяется так, что в конце концов способность системы совер­шать работу оказывается исчерпанной. Значит, всякая система тел, в которой действуют потен­циальные силы, обладает определенным ограни­ченным запасом работы, которую эти силы мо­гут совершить. Этот запас работы, обусловленный конфигурацией тел системы, представляет собой потенциальную энергию системы.

Например, потенциальная энергия Е _ПОТрастяну­той на величину х пружины есть вся работа, кото­рую может совершить упругая сила F = –k·x при сокраще­нии пружины до нормальной длины:

В этом случае потенциальная энергия пред­ставляет собой энергию упругой деформации.

Если тело падает вниз, то сила тяжести мо­жет совершить некоторую определенную рабо­ту, величина которой зависит от начальной вы­соты тела. Значит тело, поднятое на некоторую высоту h, обладает потенциальной энергией: Е_ПОТ=mgh, где h – начальная высота тела над уровнем, от которого отсчитывается потенциаль­ная энергия тела.

Потенциальная энергия всегда связана с той или иной силой взаимодействия тел, поэтому и аналитический вид потенциальной энергии за­висит от рассматриваемых сил. Физический смысл имеет не само значение потенциальной энергии, а ее изменение Δ Е_ПОТ. Это изменение Δ Е_ПОТ = Е_{ПОТ 2}– Е_{ПОТ 1}, определено так, что оно равно рабо­те со знаком минус, совершаемой потенциальной силой при переходе тела из точки 1 в точку 2:

В дифференциальной форме последнее вы­ражение принимает вид:

.

Величина gradЕ_ПОТ или называется градиентом функции Е_ПОТ и в

декартовой системе координат имеет вид:

,

где – частные производные функции Е_ПОТ по координатам. Вектор направлен в сторону уменьшения потен­циальной энергии Е_ПОТ(x,y,z).

Так как производная обращается в нуль в точ­ках, где функция достигает максимума или минимума, то сила в местах максимума и ми­нимума потенциальной энергии

Е_ПОТ {x,y,z) равна нулю. Это по­ложения неустойчивого и устойчивого равновесия.

Работа силы , действующей на частицу при ее перемещении на :

. Выражение в скобках – энергия, которой обладают движущиеся тела (частицы), или кинетическая энергия: . Т.о., работа внешней силы приводит к изменению кинетической энергии: .

В общем случае, энергия – наиболее общая и универсальная характеристика движения материи и процессов, связанных с превращением различных форм движения друг в друга.

Дата добавления: 2013-12-12