Возведение в квадрат дает

Кинетическая энергия тела при плоском движении

Представим плоское движение тела как наложение поступательного движения со скоростью v ₀ некоторой точки О и вращение вокруг оси, проходящей через эту точку, с угловой скоростью w. В этом случае скорость i-й элементарной массы тела определяется формулой

v_i=v₀+[ wr _i],

гле r _i – радиус-вектор i-й элементарной массы, проведенный из точки О.

Кинетическая энергия i-элементарной массы равна

(DЕ_к)_i=

(DЕ_к)_i=

Просуммировав (DЕ_к)_i по всем элементарным массам, найдем кинетическую энергию тела:

Е_к=

Разобьем полученное выражение на три слагаемых, вынося при этом постоянные множители за знак суммы:

Е_к= (9.5)

Сумма элементарных масс даст массу тела: Следовательно, первое слагаемое равно mv₀²/2.

Квадрат вектора равен квадрату его модуля. Поэтому, как следует из рис. 9.1, [wr_i]²=w²R_i², где R_i – расстояние i-й массы от оси вращения. Соответственно третье слагаемое в (9.5) равно

(I₀ – момент инерции тела относительно оси вращения О).

Воспользовавшись дистрибутивностью векторного произведения, преобразуем второе слагаемое в (9.5) следующим образом:

где r_c – радиус-вектор центра масс, проведенный из точки О.

С учетом всего сказанного можно написать, что

Е_к= (9.6)

В первое слагаемое входят только величины, характеризующие поступательное движение, в третье слагаемое – только величины, характеризующие вращательное движение. Второе же слагаемое содержит величины, характеризующие как поступательное, так и вращательное движение.

Если в качестве точки о взять центр масс тела С, то r _c будет равно нулю и формула (9.6) упростится следующим образом:

Е_к=(1/2)mv_c²+(1/2)I_cw². (9.7)

Здесь v_c – скорость центра масс, I_c – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Таким образом, если разбить плоское движение тела на поступательное со скоростью центра масс и вращение вокруг оси, проходящей через центр масс, то кинетическая энергия распадается на два независимых слагаемых, одно из которых определяется только величинами, характеризующими поступательное движение, а другое – только величинами, характеризующими вращение. В этом заключается одно из преимуществ такого разбиения плоского движения, о котором упоминалось ранее.

Дата добавления: 2013-12-11