Формула полной вероятности

Формулы полной вероятности, Байеса и Бернулли.

Вывод этой формулы основывается на теоремах сложения и умножения.

Содержательная постановка задачи ИЛИ «вероятностная ситуация». Необходимо найти вероятность события A, которое обязательно происходит после наступления одного из событий Н₁, Н₂, …, H_{n ,} образующих полную группу событий. Известны вероятности P( H_i ) наступления каждого из событий Н_{i ,} а также условная вероятность P( A/H_i ) наступления события A, после того как Н_i произошло_.

События Н_i называются гипотезами.

Математическая постановка задачи.

Дано: Н₁, Н₂, …, H_n такие, что Н_i Н_j = Æ при любых i и j, i¹j; ;

P(H_i) и P(A/H_i).

Найти P(A).

Доказательство.

Пусть А — некоторое событие, А Ì E. Диаграмма Венна представлена на рисунке.

Очевидно,

A = , причем все события несовместны. По теореме сложения вероятностей для несовместных событий получаем

P (A) = P () + P () +...+ P ().

События A и H _i зависимы по условию, тогда по теореме умножения для зависимых событий получаем

P(A) = P(H₁)P(A/ H₁) + P(H₂) P(A/ H₂) +...+ P( H_n ) P( A/ H_n )=

=.

Это и есть формула полной вероятности.

Задача 1. 50% всех книг, имеющихся на книжном развале, изданы в Москве, 30% — в Петербурге и 20% — в других городах. Среди московских изданий 5% имеют полиграфические дефекты, петербургских — 5%, провинциальных — 10%. Случайным образом отобрана одна книга. Найти вероятность того, что она не содержит полиграфического брака.

Решение.

………………………………………………………………………………………

Ответ:

Дата добавления: 2013-12-13