Понятие системы как семантической модели

Строгого, единого определения для понятия «система» в на­стоящее время нет. В качестве «рабочего» определения в литера­туре под системой в общем случае понимается совокупность эле­ментов и связей между ними, обладающая определенной целост­ностью.

Рассматривая систему относительно построения ИС, более полно это определение можно пояснить на основе понятия мо­дели.

Пусть А и В - два произвольных множества. Функция f, одно­значно ставящая в соответствие каждому элементу элемент f(а) В, называется отображением множества А в множество В и обозначается как f: АВ.

Элемент f(а)= b называется значением элемента а при ото­бражении f, или образом а; А - область определения, В - область значений отображения f.

Если есть элементы , не являющиеся образом никакихэлементов , то отображение f называется отображением «в» в В.

Если f (А) = В, то отображение f называется отображением «на» В.

Функция - множество элементов из А, образы которых принадлежат В, называется прообразом множества В, то есть

В общем случае может не быть отображением «в» или «на» А, так как функция может быть неоднозначной.

Отображение f называется взаимно однозначным, если каж­дый элемент множества В является образом не более чем одного элемента из А. Отображение f множества А на (в) В называется гомоморфиз­мом множеств, если выполняется условие (а₁, а₂,..., a_n) f (а₁,), f (а₂,) f (а₃,) f (а₄,)..... f (а_n,), где

Изоморфизм множества А на В является взаимно однознач­ным гомоморфизмом, т. е. (a₁, а₂,.., a_k) А <=> (f (а₁,) f (а₂)..,

Введенные понятия позволяют определить модель как изомор­физм А в , где А - множество фиксированных элементов пред­метной области с исследуемыми связями, отношениями между эти­ми элементами, - абстрактное множество, задаваемое кортежем

=<{M}, P₁,Р₂,…, Р_n >, (1)

где:

{M} – множество элементов модели, соответствующих элементам предметной области, называемое носителем модели;

Р₁, Р₂,..., Р_n - предикаты, отображающие наличие того или иного отношения между элементами предметной области.

Предикат - это логическая п-я пропозициональная функция, определенная для предметной области и принимающая значения либо истинности, либо ложности.

Носитель модели является содержательной областью преди­катов Р_1, Р₂,...,Р_n. Предикаты называются сигнатурой модели .

Выбор носителя и сигнатуры при построении модели опреде­ляется предметом исследования.

Уточним теперь понятие системы, ориентированное на зада­чи декомпозиции, анализа и синтеза, то есть на проведение преобра­зования между двумя подмоделями.

Системой называется кортеж

S = < >. (2)

Здесь:

- подмодель, определяющая поведение системы. Иногда эта подмодель может рассматриваться как «черный ящик», о котором известно лишь то, что на определенные воздействия он реагирует опреде­ленным образом;

- подмодель, определяющая структуру системы при ее внутреннем рассмотрении;

- предикат целостности, определяющий назначение системы, семантику (смысл) моделей и , а также семантику преобразования

.

= 1, если преобразование существует при взаимно однозначном соответствии между элементами носите­лей моделей и , в противном случае = 0. Наличие предиката целостности позволяет говорить о том, что система - это семантическая модель, имеющая внутреннюю интерпретацию.

Подмодель может быть представлена в виде кортежа, вклю­чающего пять объектов:

(3)

где:

х = x(t) - входной сигнал, то есть конечное множество функций времени t: <х₀(0,..., x_k(t)>;

у = y(t) - выходной сигнал, представляющий собой конечное множе­ство функций у = < y₁..., у_n >;

z= z(t) - переменная состояния модели , также характеризующаяся конечным множеством функций z= < z₁(t)…z_n(t) >, знание которых в заданный момент времени позволяет определить значения выходных характеристик модели – функционалы (глобальные уравнения системы), задающие текущие значения выходного сигнала у(t) и внутреннего состояния z(t)

y(t) = g(z(t),x(t)); (4)

z(t) = f(z(t₀), x(τ)), τ . (5)

Соотношения (4) и (5) называют уравнением наблюдения и уравнением состояния системы соответственно. Если в описа­ние системы введены функционалы f и g, то она уже не рассмат­ривается как «черный ящик». Однако для многих систем опреде­ление глобальных уравнений оказывается делом трудным и зачастую даже невозможным, что и объясняет необходимость использования этого термина.

Кроме выражения (2) систему задают тремя аксиомами.

Аксиома 1. Для системы определены пространство состо­яний Z, в которых может находиться система, и параметрическое пространство Т, в котором задано поведение системы.

В связи с этим математические описания вида (3) приня­то называть динамическими системами, так как они отражают способность систем изменять состояния z (t) в параметрическом пространстве Т.

В отличие от динамических статические сис­темы таким свойством не обладают. В качестве параметрического пространства обычно рассматривается временной интер­вал от нуля до бесконечности.

Аксиома 2. Пространство состояний Z содержит не менее двух элементов. Эта аксиома отражает естественное представле­ние о том, что сложная система может находиться в разных со­стояниях.

Аксиома 3. Система обладает свойством функциональной эмерджентности.

Эмерджентностъ (целостность) - это такое свойство систе­мы S, которое принципиально не сводится к сумме свойств эле­ментов, составляющих систему, и не выводится из них:

где: - i-я характеристика системы S; т - общее количество характеристик.

При таком рассмотрении система является совокупностью моделей и, главное, отражает семантику предметной области в отличие от не интерпретированных частных математических мо­делей. Другими словами, система - это совокупность взаимосвя­занных элементов, обладающая интегративными свойствами (эмерджентностью), а также способ отображения реальных объектов.

В рамках изучаемой дисциплины под сложной кибернетичес­кой системой понимается реальный объект с управлением и его отображение в сознании исследователя как совокупность моде­лей, адекватная решаемой задаче.

Упражнения

1. Опишите в виде черного ящика известный Вам бытовой прибор.

2. Рассмотрите примеры функционирования известной Вам системы.

3. Докажите системность дерева, Солнечной системы, озера и других объектов.

Литература:

1. Богданов А.А. Всеобщая организационная наука (тектология)/ в 3 т. - М., 1905-1924

2. Винер Н. Кибернетика. М.: Сов. радио. 1968.

3. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. М.: Прогресс, 1986.

4. Уемов А.И. Системный подход и общая теория систем. М.: Мысль, 1978

5. Шэннон Р. Имитационное моделирование систем искусство и наука. М.: Мир, 1978

Дата добавления: 2013-12-13