Упражнения. Таблица основных неопределенных интервалов

Таблица основных неопределенных интервалов.

1 . 8 .=

2 .==x+C 9 .= -

3. =+C (n- 1 ) 10. =

4 .= 11 .= (14)

5 .=+C 12 .= +C

5^* .e^x+C 13 .=+C

6. = 14 .=+C

7 .= - 15 .=+C

Используя проверку (4) для неопределенного интеграла (3), легко убедиться в истинности каждого из результатов таблицы (14). Проверим, например, первые четыре неопределенные интеграла.

1) – верно;

2) - верно;

3) = - верно;

4а) Если то и (4) принимает вид: . А это верно, так как

4б) Если то , и (4) принимает вид: . А это верно, так как .

Совершенно аналогично дифференцированием правой части можно подтвердить и все остальные равенства в таблице (14).

Пример 5. Найти неопределенный интеграл: .

Решение. Разделив числитель подынтегральной функции на знаменатель и использовав второе и третье правила интегрирования, а также таблицу основных неопределенных интегралов, получим:

Пример 5. Найти неопределенный интеграл: .

Решение.

Таблица (14) содержит лишь наиболее простые неопределенные интегралы. Но в математических справочниках содержатся многие сотни (и даже тысячи) наиболее часто встречающихся на практике неопределенных интегралов. К таким справочникам относятся, например, следующие:

1.Бронштейн И.Н. и Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М., «Наука», 1981.

2.Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М. «Наука», 1977.

3.Градштейн И.С. и Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., «Наука», 1971.

Таким образом, если требуется вычислить некоторый неопределенный интеграл, то его можно просто поискать в справочнике. Если же нужного интеграла в справочнике нет, то этот интеграл, так или иначе, стараются свести к одному или нескольким табличным интегралам. О методах такого сведения мы поговорим в следующем параграфе.

А сейчас пока лишь отметим следующее важное обстоятельство, связанное с интегрированием функций (с вычислением неопределенных интегралов) и отличающее интегрирование от дифференцирования. Производная любой элементарной функции всегда может быть найдена, и она опять же элементарная функция. А вот неопределенный интеграл не от всякой элементарной функции может быть записан через элементарные функции вида F(x)+C. Иначе говоря, не всякий неопределенный интеграл может быть сведен к табличным. А стало быть, не всякий неопределенный интеграл может быть вычислен в явном виде. Такие, не сводимые к табличным, неопределенные интегралы называются неберущимися (ибо вычислить неопределенный интеграл – это, на математическом жаргоне, «взять» интеграл). Неберущимися являются многие, даже совсем простые на первый взгляд, неопределенные интегралы. Например, такие:

1.- интеграл Пуассона

2.- интегральный логарифм (15)

3.- интегральный косинус.

4.- интегральный синус.

Эти и другие неберущиеся интегралы не могут быть найдены точно. Они могут быть найдены лишь приближенно. В соответствии с равенством (3) нахождение неопределенного интеграла сводится к нахождению какой-либо первообразной для подынтегральной функции. Вот эту первообразную для подынтегральной функции можно, используя компьютерные методы, подобрать приближенно с любой степенью точности.

1. Показать, что на всей числовой оси ох функция является первообразной для функции .

2. Найти все первообразные для функции

Ответ: .

3. Верно ли равенство:

Ответ: верно.

4.Найти функцию , если и .

Ответ:.

5) Используя основные свойства неопределенного интеграла и таблицу основных неопределенных интегралов, найти следующие интегралы:

Дата добавления: 2013-12-13