Моделирование как метод исследования систем

Система требует особых методов исследования, какими располагает теория систем. Для изучения системы строится специальная модель.

Модель разделяется на четко описанные элементы и собирается по четко описанной схеме. Чтобы описать и элементы, и схему, привлекают по возможности все знания об объекте исследования, который служит прообразом модели. Это не только знания о природе объекта и законах его существования, но и различные гипотезы и предположения, к которым обращаются в случае нехватки реальных данных и т.п. Описание модели, как правило, строго записывается на математическом языке в виде систем уравнений. Затем сроится описание в виде программ для электронно-вычислительной машины. Машинное моделирование сегодня — эффективный метод, позволяющий находить характеристики системы в целом.

Далее модель заставляют функционировать, чтобы выявить ее поведение во «внешнем мире». Результаты могут быть либо сходными с известными из опыта и наблюдений, либо несходными, что бывает гораздо чаще.

Следующий этап – либо принятие, либо исправление, либо отвержение гипотез, использованных в модели. Во втором и третьем случае процесс повторяется с определенного этапа. Таким путем удается получить достоверные сведения о системе.

Существуют системы с невероятно сложными иерархическими структурами, что затрудняет моделирование, поскольку слишком много элементов, слишком много связей, слишком много переменных. Системный метод предписывает исследователям в таких случаях определить конечное число характеристик, от которых зависит результат и отбросить те характеристики, некоторые несущественны для конкретной проблемы.

Формально объяснить связь понятий «система» и «модель» можно следующим образом. Пусть имеются две системы A и B с элементами {a_i} и {b_i} соответственно. Пусть далее элементы каждой системы связаны между собой множествами различных отношений {r_i} и {f_i}. В частном случае такими отношениями могут быть некоторые зависимости между элементами системы. Эти зависимости характеризуют интересующие исследователя свойства системы. Пусть, наконец, в каждой системе имеются некоторые правила вывода, позволяющие получать новые зависимости (отношения) между элементами системы и некоторое множество исходных, априорно заданных зависимостей (аксиом). Исходные зависимости и те, которые могут получаться из них путем использования правил вывода, будем называть правильными (справедливыми) для данной системы.

Если между элементами рассматриваемых систем удается установить взаимно-однозначное соответствие – изоморфизм, т. е. сформулировать правило, по которому каждому элементу а_i в системе А будет соответствовать некоторый элемент b_i в системе В и наоборот, и если можно установить изоморфизм между соответствующими отношениями, аксиомами и правилами вывода, а следовательно, и между правильными зависимостями, то одну из систем можно назвать моделью другой системы. Это означает, что, получив в одной системе правильную зависимость, можно получить правильную зависимость, соответствующую ей, в другой системе, не производя в этой системе нужных операций.

Поясним сказанное двумя простыми примерами. Известно, что вместо умножения и деления больших чисел производят сложение и вычитание логарифмов этих чисел. Таким образом, еще недавно считали на логарифмических линейках. Так, если система А состоит из положительных действительных чисел, а система В - из логарифмов этих чисел, то между элементами этих систем можно установить изоморфизм, где каждому числу соответствует его логарифм и наоборот. Операциям (зависимостям) умножения и деления в системе А соответствуют операции сложения и вычитания в системе В. Так, если мы хотим узнать результат перемножения двух чисел в системе А, достаточно сложить соответствующие элементы системы В и вернуться к элементу системы А, соответствующему полученной сумме.

Еще один пример. Рассмотрите любую систему, представляющую собой электрическую цепь с различными элементами. Если вы воспользуетесь известными из электротехники соотношениями между элементами данной системы, то получите математические выражения, описывающие связи между элементами. В этом случае говорят, что система уравнений, описывающая поведение системы, представляет собой математическую модель (в данном случае, математическую модель электрической цепи).

Если теперь мы хотим исследовать поведение электрической цепи, то можно непосредственно исследовать саму систему (провести натурный эксперимент), либо воспользоваться системой уравнений и решить ее.

Таким образом, «в широком смысле», моделирование есть общенаучный метод исследования разнообразных систем.

«В узком смысле» моделирование определяют как область знаний, занимающуюся разработкой разнообразных моделей, их теорией и использованием.

С развитием кибернетики и информатики моделирование прочно вошло в арсенал методов, широко используемых в различных областях науки и техники, и стало одним из основных инструментов современной информатики.

На страницах учебников вы чаще всего встречаетесь с моделями, имеющими вид математических формул.

Например:

a₁x₁ + b₁x₂ = c₁

a₂x₁ + b₂x₂ = c₂.

Что скрывается за этими знаками?

Математик даст самый общий ответ, что это система из двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными. Но что именно она выражает, сказать сложно. Это могут быть уравнения электрического напряжения или токов в цепи с активными напряжениями; уравнения равновесия сил для системы рычагов или пружин; уравнения, связывающие силы и деформации в какой-то строительной конструкции; уравнения для расчета загрузки станков и т.д. Все в указанной системе зависит от того, что скрывается за постоянными коэффициентами а, b, с и символами неизвестных — x₁ и x₂.

В поразительном математическом сходстве различных явлений заложены огромные возможности. Рассматриваемый вид моделирования называется математическим и осуществляется на языке математики и логики. При таком моделировании математические операции удобнее всего проводить на ЭВМ. Этапы математического моделирования приведены на рис.7.

В математическом моделировании существует своя теоретическая база - его методология и технология решения задач — вычислительный эксперимент. У этого вида моделирования есть ряд замечательных преимуществ по сравнению с другими. Во-первых, как мы уже отметили, одна и та же модель применима в самых разных областях науки. Во-вторых, вычислительный эксперимент позволяет значительно экономить время исследований. В-третьих, на математической модели можно экспериментировать даже тогда, когда объекты по каким-то причинам исследователю неподвластны: либо удалены от него (звезды), либо чрезвычайно кратковременны (жизнь элементарных частиц), либо слишком велики (сложные комплексы).

Как говорят специалисты, при математическом моделировании нужно проиграть множество сценариев, выбрать самый приемлемый и научиться управлять его реализацией. Это общее требование, относящееся к вычислительному эксперименту. Например, для зажигания термоядерной реакции синтеза необходимо создать условия с фантастическими, как на звездах, параметрами, где давление достигает тысяч миллиардов атмосфер, плотность в тысячи раз превосходит плотность металлов, температура — сотни миллионов градусов, скорость — тысячи километров в секунды, а время управляемых процессов доходит до сотых долей миллиардной доли секунды. До того как перенести эксперимент в лабораторию, его «проигрывают» на ЭВМ.

Процесс построения сложной математической модели нелегок и продолжителен. Он начинается с достаточно приблизительной (грубой информационной) или имитационной (аналоговой) модели. Этот этап называют мягким моделированием. По мере того как углубляется понимание моделируемого явления, модель становится все более и более строгой. Вычислительный эксперимент кончается, когда модель описана языком уравнений,— это жесткое моделирование.

Готовая математическая модель бывает иногда настолько сложной, что, для моделирования требуется несколько лет машинного времени. Условие для реализации невыполнимое. Правда, некоторые из подобных задач научились решать не прямо, а в обход, используя для этого специальные приемы.

Очень часто в моделировании приходится изучать иерархические, многоступенчатые системы — технические, биологические, социально-экономические. В таких случаях прибегают к декомпозиции. Исследуемый объект разлагают на части, которые моделируют отдельно, а затем слагают в единое целое.

Другой путь — так называемое теоретическое модельное проектирование, использующее методы перебора множества вариантов. Им, например, пользуются при проектировании молекул белков, состоящих из тысяч атомов. Подобные задачи решают в молекулярной генетике, когда ставят целью получить живое вещество с заданными свойствами.

Когда нужно предельно точно описать ситуации в сложных, подчас парадоксальных, хаотических явлениях, характерных для химической кинетики, для гидродинамики, и там, где возникают неожиданные связи внутри динамических систем, используют комбинации различных методов математического моделирования.

Математическая модель не только заменяет натурное экспериментирование, но и глубоко вскрывает внутренние связи объекта исследования, дает его точные количественные характеристики, позволяя без дополнительных затрат переходить от одной актуальной задачи к другой, в несколько раз уменьшая тем самым сроки и стоимость разработок. И что самое главное — математическое моделирование стимулирует постановку новых проблем и создание новых методов исследования, о которых ранее не приходилось и думать.

Дата добавления: 2013-12-13