Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Дискретные случайные величины и их числовые характеристики





Помощь в написании учебных работ
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

Дискретная случайная величина Х считается заданной, если известен список (х1; х2; x3; … хn) всех её возможных значений, а также известны вероятности (р1; р2; p3; … рn) принятия ею этих её возможных значений. Эти данные оформляются в виде таблицы,

 

X х1 х2 x3 ……хn (1)
p р1 р2 p3 ……рn

 

которая называется законом распределения дискретной случайной величины Х.

Отметим, что сумма вероятностей р12+…+рn представляет собой, согласно формуле для попарно несовместных событий, вероятность принятия случайной величиной Х хотя бы одного из своих возможных значений (или х1, или х2, … или xn). То есть представляет собой вероятность достоверного события – события, которое произойдет обязательно. Но вероятность достоверного события равна единице. Таким образом:

р12+…+рn=1 (2)

Это равенство должно выполняться в любом законе распределения (1).

Информация о распределении, представленная на графике точками с координатами () и соединяющей их ломаной, называется многоугольником (полигоном) распределения.

Вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее , называется функцией распределения , т. е. . Для ДСВ

.

Пример 4. В лотерее разыгрываются 200 лотерейных билетов. Из них 2 билета содержат выигрыш по 1000 рублей, 5 билетов по 500 рублей, 10 билетов по 300 рублей и 25 билетов по 100 рублей. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Искомый закон распределения очевиден:

 

Х
р 0,79 0,125 0,05 0,025 0,01

Пример 5. Батарея состоит из 3 орудий. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого орудия = 0,5; для второго = 0,6; для третьего — = 0,8. Все орудия делают по одному выстрелу. Охарактеризовать случайную величину Х — число попаданий в цель.

Очевидно, что Х может принять одно из четырех значений: 0, 1, 2, 3 .

= 0, если ни одно орудие не попадет;

= 1, если попадет одно орудие (либо первое, либо второе, либо третье); = 2, если попадут два орудия: либо первое и второе, либо первое и третье, либо второе и третье;



= 3, если попадут все три орудия.

Сделаем проверку: .

Выпишем ряд распределения

0,04 0,26 0,46 0,24

Полигон распределения представлен на рисунке. Функция распределения представлена таблицей и графиком.

0,04 0,3 0,76

 

Данный пример иллюстрирует следующие свойства функции распределения ДСВ (которые можно легко доказать, учитывая, что вероятность любого события заключена в пределах от 0 до 1).

1) – ступенчатая разрывная функция;

2) – неубывающая функция (т. е. либо возрастает, либо постоянна);

3) = 0, для всех , где – наименьшее из всех значений ;

4) = 1, для всех , где – наибольшее из всех значений .

Приведенные характеристики дают полное и ясное представление о случайной величине. Однако, в случае, когда ДСВ имеет много значений (десятки, сотни и т. д. ) они будут очень громоздкими и требуют много места. Кроме того, во многих практических задачах вовсе нет необходимости так подробно описывать случайную величину.

На практике обычно важно знать не столько сам закон распределения дискретной случайной величины (таблицу), сколько некоторые суммарные (обобщающие) числовые характеристики этой случайной величины, характеризующие её в целом. В частности, на практике наиболее важно знать:

а) среднее значение хср случайной величины;

б) степень разброса её возможных значений (х1; х2; … хn) вокруг её среднего значения хср.

Начнем с того, что найдем среднее значение хср дискретной случайной величины Х. Пусть таблица (1) – закон её распределения. Представим себе, что будет проведено N повторных испытаний. Так как (р1; р2; … рn) – вероятности появления значений (х1; х2; … хn) случайной величины Х, то согласно формуле эти значения появятся в среднем (р1N; p2N; … pnN) раз соответственно. Тогда среднее из всех этих N значений будет, очевидно, таким:

хср = (3)

Это среднее значение дискретной случайной величины Х является наиболее ожидаемым её значением для каждого отдельного испытания, и потому называется математическим ожиданием случайной величины Х. Оно обозначается символом М(Х). Итак,

М(Х)=хср= (4)

- математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины Х. Вокруг математического ожидания группируются реальные средние значения случайной величины Х в различных сериях испытаний.

 





Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 1189; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.026 сек.