Определение параметров функциональных зависимостей

1) Определение параметров линейной зависимости .

Параметры и должны быть такими, чтобы величина была минимальной. Используем необходимое условие минимума функции :

Преобразование написанных условий приводит к следующей системе для определения и :

Решая эту систему, получаем формулы:

2) Определение параметров экспоненциальной зависимости

Прологарифмируем функцию :

Зависимость от x линейная, поэтому заменим в формулах (1) и (2) на , а на :

Окончательно находим .

3) Определение параметров логарифмической зависимости .

Отличие данной формулы от линейной состоит в замене , поэтому:

4) Определение параметров гиперболической зависимости .

В данной формуле, в отличие от линейной, x заменен на , поэтому

5) Определение параметров квадратичной зависимости .

Составим .

Необходимое условие минимума функции :

Преобразование выписанных уравнений приводит к системе

xi
yi	–0,6	1,1	2,7	3,7	5,9	7,1	8,3	10,5	11,5	12,8
yi
yi	7,5	2,5	0,5	1,1	–0,5	–1,2	–1,2	–1,7	–1,5	–1

Пример. Даны три набора значений функции . Представить их на графике и выбрать вид функции, наилучшим образом описывающей каждую зависимость. С помощью метода наименьших квадратов найти числовые параметры выбранных функциональных зависимостей.

Исследуем первую зависимость, представленную первой и второй строками таблицы. Нанесем табличные данные на график.

Расположение точек ближе всего к графику линейной функции – прямой. Поэтому для первой зависимости выбираем функцию

.

Вычислим суммы:

;

;

.

Используя формулы (1) и (2) из раздела 6.5 найдем

Нанесем прямую, описываемую данной функцией, на график по двум точкам:

Табличные точки располагаются вблизи полученной прямой, значит вид функции выбран удачно.

2) Исследуем вторую зависимость, представленную первой и третьей строками таблицы. Нанесем табличные данные на график.

Расположение точек позволяет сделать вывод: функция при малых значениях переменной (x < 5) меняется слабо, а при больших значениях – резко возрастает, что свидетельствует в пользу выбора экспоненциальной зависимости

.

Проведем необходимые вычисления.

Заполним таблицу значениями функции.

x
	3,3	5,4	9,0	14,8	24,4	40,2	66,2	109,2	180,0	296,8

Нанесем полученные точки на график и соединим плавной линией, которая весьма удовлетворительно соответствует исходным данным.

3) Исследуем третью зависимость, представленную первой и четвертой строками таблицы. Нанесем табличные данные на график. Сильное изменение функции при небольших и очень незначительное при больших указывает на возможность выбрать для данного случая гиперболическую зависимость .

Выполним необходимые вычисления:

;

;

;

;

;

;

;

.

Составим таблицу значений функции.

x
	7,5	2,5	0,8	0,0	–0,5	–0,8	–1,1	–1,3	–1,4	–1,5

Нанесем рассчитанные значения на график и соединим плавной линией. Точки, соответствующие исходным данным хорошо группируются вблизи проведенной линии, значит, зависимость выбрана удовлетворительно.

Дата добавления: 2013-12-13