Кривошипно-ползунного механизма

Построение плана скоростей и ускорений

Определение скоростей и ускорений методом планов

Построение планов скоростей и ускорений начинают с ведущего звена, а затем переходят к структурным группам в порядке их присоединения к механизму первого класса. У структурных групп внешние кинематические пары всегда определены. Поэтому стоит задача определения скорости и ускорения внутренней кинематической пары. Для этого записывают два уравнения движения внутренней кинематической пары относительно внешних.

Рассмотрим простой кривошипно-ползунный механизм рис. 4.8. Известна метрическая схема механизма и угловая скорость кривошипа, то есть принята постоянной. Требуется найти скорости и ускорения звеньев и кинематических пар, используя планы скоростей и ускорений. Введем обозначения:,; в круглых скобках будем обозначать отрезки с планов скоростей и ускорений.

В этом механизме к ведущему звену 1 присоединена всего одна структурная группа 2-го класса звенья 2 – 3. Скорость точки В кривошипа равна Она направлена перпендикулярно звену АВ в сторону вращения звена. Выбираем масштаб скоростей, в котором будем строить план скоростей, как отношение значения скорости к отрезку на чертеже, изображающем эту скорость: Отрезок на плане скоростей

Рис.4.8 Расчетная схема механизма

выбирается произвольно, например, так, чтобы было кратным или дольным значением скорости. Выбираем положение полюса p и проводим вектор (рис. 4.9) перпендикулярно звену АВ в сторону вращения.

Рис.4.9 План скоростей

Таким образом, у структурной группы звеньев 2-3 внешние кинематические пары определены полностью: скорость пары В мы сейчас нашли, а скорость точки С, принадлежащей стойке равна нулю, и точка С, принадлежащая ползуну, может двигаться только вдоль направляющей (в точку С проецируются три точки: С₂, принадлежащая звену 2; С₃, принадлежащая звену 3 и С₀ , принадлежащая стойке). Так как направление скорости ползуна известно, то для определения скорости точки С достаточно одного уравнения:

(4.9)

где - вектор скорости точки С относительно точки В.

Строим это уравнение. Из точки (р) на плане скоростей проводим линию, параллельную направляющей X-X – направление скорости точки С; через точку (b) проводим линию, перпендикулярную ВС – направление относительной скорости (здесь мы полагаем, что точка В неподвижна, а точка С не связана с ползуном, тогда точка С относительно точки В может двигаться только по окружности, а скорость этой точки - по касательной к траектории, то есть ВС). Точка пересечений этих двух направлений дает положение точки (с), а отрезок (рс) – скорость пары С в выбранном масштабе: План скоростей построен.

Найдем угловую скорость шатуна ВС как отношение относительной скорости к длине шатуна. Величину относительной скорости находим по плану скоростей:. Итак:

.

(4.10)

Направление вектора угловой скорости определяется вектором относительной скорости. По уравнению (4.10) вектор скорости равен сумме векторов и. То есть вектора и должны идти один за другим и поэтому вектор (сb) на плане скоростей направлен вверх от (b) к (c). Мысленно переносим этот вектор с плана скоростей на схему механизма в точку С (на рис. показан пунктиром) и смотрим как он вращает звено относительно точки В: против часовой стрелки, что и обозначено на схеме.

С помощью плана скоростей можно найти скорость любой точки, например, точки Е звена ВС. Для угловой скорости шатуна мы можем записать

откуда

или

Из последнего равенства следует вывод, что точка (е) на плане скоростей делит отрезок (сb) в такой же пропорции, что и точка Е на плане механизма делит отрезок СВ. В таком случае говорят, что положение точки (е) находят из подобия. Далее, соединяя точку (е) с полюсом (р), получаем отрезок (ре), изображающий в выбранном масштабе скорость точки Е. Ее величина равна

Теперь построим план ускорений в том же порядке, что и построение плана скоростей: начинаем с ведущего звена и далее переходим к структурной группе. Так как по условию угловая скорость кривошипа постоянна, то на точку В относительно точки А действует только нормальная составляющая ускорения. Она направлена вдоль звена к центру вращения и по величине равна

Выбираем масштаб построения плана ускорений как отношение величины ускорения к отрезку на плане ускорений (qb), который это ускорение изображает и длину которого мы выбираем сами:

Выбираем положение полюса q плана ускорений (рис.) и из него проводим линию, параллельную кривошипу АВ, и на ней откладываем, выбранный нами ранее отрезок (qb) в направлении от А к В на схеме механизма, изображающий ускорение точки В. Далее, записываем уравнение движения точки С относительно внешних кинематических пар:

(4.11)

Рис.4.10 План ускорений

В этом уравнении ускорение известно по направлению: параллельно направляющей XX; ускорение известно полностью и по величине, и по направлению и на плане ускорений уже представлено вектором (qb); нормальная составляющая ускорения точки С относительно точки В тоже известна полностью: по направлению – вдоль звена к центру вращения, то есть к точке В, и по величине определяется по формуле

(4.12)

Тангенциальная составляющая ускорения точки С относительно точки В известна только по направлению – перпендикулярно звену BC. Теперь построим уравнение (4.11). Из полюса проводим линию параллельную направляющей XX. Затем через конец вектора (qb) проводим линию параллельную звену BC в направлении от С к В на схеме механизма, и на ней в выбранном масштабе откладываем величину нормальной составляющей ускорения точки С относительно точки В, найденную по формуле (4.12). Далее, через конец этой составляющей проводим линию перпендикулярную шатуну ВС – направление тангенциальной составляющей ускорения точки С относительно точки В. Пересечение этой линии с линией, параллельной направляющей XX, дает положение точки С, а отрезок (qc) – ускорение точки С в выбранном масштабе. Величина этого ускорения равна

Теперь найдем угловые ускорения звеньев. Угловое ускорение первого звена равно нулю, так как угловая скорость этого звена по условию постоянна. Угловое ускорение второго звена найдем по формуле

где величину тангенциальной составляющей находим по плану ускорений

Направление углового ускорения определяется направлением тангенциальной составляющей ускорения точки С относительно точки В. Из уравнения (3) следует, что вектор (рс) равен сумме векторов, и. Эти вектора должны идти один за другим. Поэтому вектор направлен вправо вверх от (n) к (c). Переносим мысленно этот вектор на схему механизма в точку С (показан на рис пунктиром) и смотрим, что он вращает звено ВС относительно точки В против часовой стрелки. Так как угловые скорость и ускорение направлены в одну сторону (против часовой стрелки), то второе звено движется в данном положении механизма ускоренно. Если бы эти вектора и были бы направлены в разные стороны, то шатун двигался бы замедленно.

Аналогично плану скоростей по плану ускорений можно найти ускорение любой точки звеньев механизма, например, точки Е. Запишем для второго звена отношение относительных ускорений

Заменяя в этом выражении ускорения и длины звеньев через соответствующие масштабы и отрезки, получаем:

Таким образом, мы получаем тот же вывод, что и для плана скоростей: точка (е) на плане ускорений делит отрезок (bс) на такие же части, что и точка Е на схеме механизма делит отрезок ВС. Соединяя точку (е) с полюсом плана ускорений (q), получаем вектор (qe), изображающий в выбранном масштабе ускорение точки Е. Его численное значение равно:

Таким образом, задача определения скоростей и ускорений в данном примере решена.

Дата добавления: 2013-12-13