Зная оптимальное решение прямой задачи, выписать ответ двойственной задачи. Дать экономическую интерпретацию двойственных оценок

Или.

Экономическое содержание неравенства означает, что для любых допустимых планов X и Y общая стоимость не превосходит суммарной оценка ресурсов.

Достаточный признак оптимальности. Если для некоторых допустимых планов и пары двойственных задач выполняется неравенство, то и оптимальными планами соответствующих задач.

Экономический смысл теоремы состоит в том, что план и вектор оценки ресурсов являются оптимальными, если цена всей произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадают.

Принцип двойственности. Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая также имеет оптимальное решение, притом для оптимальных планов и выполняется равенство. Если одна из двойственных задач неразрешима вследствие неограниченности целевой функции на множестве допустимых планов, то система ограничений другой задачи противоречива.

Следствие (теорема существования оптимальных планов). Для существования оптимального плана любой из пары двойственных задач необходимо и достаточно существование допустимого плана для каждой.

Экономическая интерпретация принципа двойственности состоит в том, что план производства и вектор оценок ресурсов являются оптимальными тогда и только тогда, когда цена произведенной продукции равна суммарной оценке ресурсов, т.е. оценки выступают как инструмент балансирования затрат и результатов. Двойственные оценки обладают тем свойством, что гарантируют рентабельность оптимального плана (т.е. равенство оценки продуктов и ресурсов) и обуславливают убыточность всякого другого плана, отличного от оптимального. Двойственные оценки позволяют сопоставить и сбалансировать затраты и результаты решения.

Теорема о дополняющей нежесткости. Для оптимальности допустимых планов и прямой и двойственной задач необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения

, (2.53)

,. (2.54)

Условия (2.53), (2.54) называются условиями дополняющей нежесткости. Из них следует: если какое-либо ограничение одной из задач ее оптимальным планом обращается в строгое неравенство, то соответствующая компонента оптимального плана двойственной задачи должна равняться нулю; если же какая-либо компонента оптимального плана одной из задач положительна, то соответствующее ограничение в двойственной задаче ее оптимальным планом должно обращаться в строгое равенство.

Пример 7. Дана пара взаимно двойственных задач

Прямая задача .

Двойственная задача

Решение.

Базисным переменным прямой задачи поставим в соответствие свободные переменные двойственной задачи в 1-й и последней симплекс-таблице примера 4:

Решение двойственной задачи найдем по последней z-строке и прибавим к ним соответствующие коэффициенты целевой функции прямой задачи:

(так как в целевой функции прямой задачи коэффициент при равен 1);

(потому что в целевую функцию прямой задачи не входит);

(потому что в целевую функцию прямой задачи не входит).

Дата добавления: 2013-12-13