Метод Крамера

Метод обратной матрицы.

Правила решения систем.

1. Находят ранги основной и расширенной матрицы и если то система не совместна.

2. Если, то система совместна, в этом случае находят какой-нибудь базисный минор - того порядка и берут соответствующие ему - уравнений системы, отбрасывая остальные. Те переменные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называются главными, остальные переменных называют свободными. Выражения со свободными переменными переносят в правую часть.

3. Находят выражение главных переменных через свободные и получают общее решение системы.

4. Придавая свободным переменным произвольные значения получают все значения главных переменных.

Методы решения систем линейных уравнений.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными

причем, т. е. система имеет единственное решение. Запишем систему в матричном виде

,

где,,.

Умножим обе части матричного уравнения слева на матрицу

.

Так как, то получаем, откуда получаем равенство для нахождения неизвестных

.

Пример 27. Методом обратной матрицы решить систему линейных уравнений

Решение. Обозначим через основную матрицу системы

.

Пусть, тогда решение найдем по формуле.

Вычислим.

Так как, то и система имеет единственное решение. Найдем все алгебраические дополнения

,,

,,

,,

,,

Таким образом

.

Сделаем проверку

.

Обратная матрица найдена верно. Отсюда по формуле, найдем матрицу переменных.

.

Сравнивая значения матриц, получим ответ:.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными

причем, т. е. система имеет единственное решение. Запишем решение системы в матричном виде или

Отсюда

Обозначим

..............,

Таким образом, получаем формулы для нахождения значений неизвестных, которые называются формулами Крамера.

Пример 28. Решить методом Крамера следующую систему линейных уравнений.

Решение. Найдем определитель основной матрицы системы

.

Так как, то, система имеет единственное решение.

Найдем остальные определители для формул Крамера

,

,

.

По формулам Крамера находим значения переменных

Ответ:

Дата добавления: 2013-12-13