КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Правила дифференцированияЗадача о проведении касательной к кривой Производная. Дифференциал функции Примеры. 1) 2) . 3) Проверить непрерывность функции . Поскольку функции , и непрерывны в областях их задания, достаточно рассмотреть функцию в точках стыковки этих функций. Итак, для имеем , , . Функция в этой точке непрерывна согласно определению 4. Для имеем , , . Условие непрерывности в точке не выполняется. Следовательно, функция непрерывна на всей числовой оси за исключением точки , где она имеет конечный разрыв со скачком (-1).
Пусть заданная кривая является графиком непрерывной функции , и требуется провести касательную к этой кривой в точке . Заметим, что касательная – это прямая, получающаяся в пределе из хорд, проходящих через точки и , когда . Уравнение хорды – прямой, проходящей через две заданные различные точки, – имеет вид: или . Делая предельный переход при , получим предельное значение углового коэффициента хорд – угловой коэффициент касательной: . На рисунке касательная представлена пунктиром. Итак, , где – угол, образованный касательной с положительным направлением оси .
Очевидно, что существуют непрерывные кривые, в некоторых точках которых провести касательную невозможно. Возникает вопрос: какое условие нужно наложить на функцию в окрестности точки , чтобы в соответствующей точке можно было провести касательную к графику этой функции. Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение представимо в виде , причем – константа, – бесконечно малая функция, более высокого порядка малости, чем , то есть . Установим значение , для чего вычислим . Назовем число производной функции в точке и обозначим ее , в результате получаем определение производной и, кроме того, . Как было сказано выше, второе слагаемое в выражении приращения функции – величина более высокого порядка малости, чем величина , а следовательно, и чем величина . Другими словами, первое слагаемое в выражении приращения функции представляет основную часть приращения функции. Называют его дифференциалом функции в точке и обозначают В целях единообразия и для того, чтобы подчеркнуть, что – бесконечно малая величина, приращение аргумента в этой формуле обозначают . Тогда , откуда следует второе обозначение производной . Связь между приращением функции и ее дифференциалом изображена на рисунке 1.
Замечание. Геометрическим смыслом производной является тангенс угла наклона касательной к кривой в точке . Поэтому уравнение касательной к кривой в точке имеет вид . Физическим смыслом производной является скорость в момент , когда зависимость длины пути от скорости задается функцией .
1) Производная суммы функций есть сумма производных этих функций. Пусть , тогда . Очевидно, . 2) . 3) . Свойства 2) и 3) доказываются аналогично свойству 1).
4) Пусть функция дифференцируема в точке , . Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда сложная функция дифференцируема в точке , причем . Действительно, .
Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 252; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |