Частотные динамические характеристики

Частотные динамические характеристики описывают свойства элемента исходя из его реакции на входное гармоническое воздействие вида:

х = Х_т since/,

где Х_т — амплитуда; со = 2п/Т_П — углопая частота; Т_п — период

колебаний.

На выходе элемента с линейной статической характеристикой по окончании переходного процесса установятся вынужденные колебания, определяемые выражением

у= r_msin (w/ + (p),

где Y_m ~ амплитуда; <р — фазовый сдвиг между входным и выходным гармоническими сигналами (рис. 6.5).

При постоянной амплитуде пходпмх колебаний амплитуда и фаза выходных колебаний буду]' зависеть от частоты и динамических свойств элементов. Если увеличивать частоту колебаний от нуля до бесконечности и определять установившиеся значения Y_m и ф для разных частот со при Х_т = const, то можно получить следующие зависимости: Л(со) = Ґ_{т (}о>)/Х_{т (}&) и ф (со). Зависимость А(ы) называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а зависимость ф (со) — фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

В теории автоматического регулирования используют совмещенные характеристики, которые учитывают соотношение амплитуд входного и выходного сигналов и сдвиг фаз в зависимости от частоты сигнала. Для этого применяют векторное представление гармонических сигналов на входе и выходе элемента. Можно представить колебания на входе и выходе в комплексной форме: X = X_me^jm, у = У", е-^/ни+ф, где js-f-l. Тогда отношение векторов может быть представлено в виде

где /4(со) = \W(j (ri)\ — модуль; <р (со) — фаза комплексной частотной функции И^усо).

По существу функция ИЦ/w) является комплексным передаточным коэффициентом элемента или системы. Эту функцию можно представить в декартовых координатах на комплексной плоскости как геометрическую сумму векторов вещественной Я(ш) и мнимой У/(со) частей (рис. 6.6, а):

где R((ti) = ReFFQ'o)) — вещественная частотная характеристика

(ВЧХ); /(ш) = 1тЙ^(/ш) — мнимая частотная характеристика (МЧХ).

Значения К(ы) и /(со) могут быть определены по значениям Л(ш) и ф (со) и, наоборот, из выражений

Исппчпнн Л((о) определяет изменение амплитуды, а р (ю) — и (мщение ф;| и,| колебаний на выходе но отношению к колебаниям на ИХОДС при изменении частоты со.

Представляя W(j&) как вектор, который характеризует установившееся движение системы при гармоническом возмущении М частотой со, и изменяя частоту от 0 до +00, можно видеть, что конец вектора прочертит в прямоугольных координатах комплексной плоскости кривую, называемую годографом вектора комплексной частотной функции (рис. 6.6, б). Эта же кривая называется амплитудно-фазочастотной характеристикой (АФЧХ).

В соответствии с преобразованием Фурье надо строить ампли-тудно-фазочастотную характеристику, изменяя частоту от — «> до Р+. Однако ветвь характеристики, получающуюся при изменении частоты от 0 до — «>, можно получить как зеркальное отображение относительно вещественной оси ветви, полученной при изменении частоты от +<«до 0.

На практике находят применение частотные характеристики, построенные в логарифмическом масштабе, называемые логарифмическими частотными характеристиками. Если частотную характеристику W(j (u) = Л(со)е — "^{р (ш)} прологарифмировать, то можно записать:

Характеристика 1пЛ(со), построенная в логарифмическом масштабе частот по оси абсцисс и в обычном натуральном масштабе по оси ординат, называется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ). Характеристика, построенная в логарифмическом масштабе частот (ось абсцисс) и в обычном масштабе для фазы (ось ординат), называется логарифмической фазочастотной характеристикой (ЛФЧХ).

Логарифмические фазочастотные характеристики можно складывать графически, а для элементарных элементов можно построить асимптотические ЛАЧХ, т.е. характеристики в виде ломаных линий из прямолинейных отрезков, к которым асимптотически приближаются действительные ЛАЧХ элементов.

Дата добавления: 2013-12-13