Используемые для построения теоретико-вероятностных моделей

Основные понятия и определения

Основным методом анализа ТП является выборочный метод. Его основными атрибутами являются:

· Генеральная совокупность – совокупность всех возможных наблюдений.

· Выборочная совокупность (выборка) – совокупность части наблюдений, достаточных для получения достоверных результатов.

К основным характеристикам генеральной совокупности относятся:

– Математическое ожидание – М [ x ] или среднее ;

– Статистическая дисперсия – S ²[ x ];

– Математическая дисперсия – s² или D [x];

– Среднеквадратическое отклонение – S [ x ] или s[ x ] = D ^1/2[ x ].

Следует различать математическое и статистическое значения дисперсии:

и .

– Коэффициент вариации (вариабильности) – . Имеет смысл при .

– Статические характеристики могут приближаться к истинным значениям , , , , присущим генеральной совокупности, причем . Величину или называют предельной ошибкой.

– Доверительная вероятность (надежность) – .

– Уровень значимости (риск) – .

Основные законы распределения,

Мультимодальное (полимодальное) распределение. Это распределение, у которого плотность вероятности достигается не в одной, а в нескольких точках.

Мо [ x ] – наиболее вероятное значения случайной величины (мода).

Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Нормальный закон распределения хорошо описывает явления, в которых случайная величина «x» зависит от бесчисленного множества факторов.

; (условное обозначение ),

где f (x) – плотность распределения (плотность вероятности); –математическое ожидание; – дисперсия.

Нормальный закон распределения с параметрами , , называется стандартным или нормализованным ().

Нормализация

; ; ; ,

тогда

.

Биноминальный закон распределения (для дискретной случайной величины)

Пусть случайная дискретная величина принимает значения X =0,1,…, k,…, N. Обозначим вероятность повторения события «k»раз в «N» опытах – P (x=k) (другие часто встречающиеся обозначения P (x=k) = P_N (k) = P_k,N).

Пусть некоторый опыт повторяется N раз, причем каждый раз может либо наступить (успех), либо не наступить (неудача) некоторое событие «А». Обозначим P _A = p — вероятность успеха, P _B=1 – p =q — вероятность неудачи. Тогда вероятность того, что в «k» случаях их «N» произойдет событие «А» вычисляется по формуле Бернулли.

; , (1)

где

.

· При биноминальное распределение переходит в нормальное.

· При , , в Пуассоновское распределение.

Примеры биноминального распределения:

Пример 1. Вероятность изготовления стандартной детали на автоматическом станке равна 0,8. Найти вероятности появления бракованных деталей среди 5-ти отобранных.

Решение. Вероятность изготовления бракованной детали равна р = 1 – 0,8 = 0,2.

Р 0,5= ×0,2^0×0,8^5=0,32768; 1	Р 1,5= ×0,2^1×0,8^4=0,40960; 5
Р 2,5= ×0,2^2×0,8^3=0,20480; 10	Р 3,5= ×0,2^3×0,8^2=0,05120; 10
Р 4,5= ×0,2^4×0,8^1=0,00640; 5	Р 5,5= ×0,2^5×0,8^0=0,00032; 1

Соединяя полученные точки, получим полигон распределения вероятностей. Из рисунка видно, что есть такие значения k (в данном случае k ₀=1), обладающие наибольшей вероятностью P_{k , N}.

Дата добавления: 2013-12-13