Дифференциальные уравнения собственных линейных колебаний

Собственные линейные колебания системы.

Колебания системы с одной степенью свободы

Движение системы с одной степенью свободы описывается одним уравнением Лагранжа второго рода.

(1)

где .

Часть обобщенной силы Q(t) получается от возмущающих сил, зависящих прежде всего от t.

Если в (1): Q =Q^П – собственные свободные колебания,

Q =Q^П + Q^D – затухающие колебания,

Q =Q^П + Q^В – вынужденные колебания.

Рассмотрим движение системы матерериальных точек с голономными, удерживающими, идеальными, стационарными связями.

Ее кинетическая энергия (1)

При допущении о стационарных связях зависит от t только через обобщенную координату q, следовательно:

, (2)

.

(2) ® (1): (3)

где

Величина А, как и , может завесить от и не зависит от

A = A(q).

Полагая q малой величиной и разложив A(q) в окрестности q = 0 (вблизи устойчивого равновесия) в степенной ряд, имеем:

.

«0» означает, что соответствующую величину надо определять при q = 0.

Сохранив лишь члены выше второго порядка (т.е. оставляя первый член) (3) примет вид:

, (а)

где α = A(q) = ;

α – коэффициент инерции (если скорость - размерность массы; угловая скорость – размерность момента инерции).

Для потенциальной энергии

П = П(q) – только функция q.

Разложив П в ряд в окрестности q = 0, получим

.

П_о = П_min (по теореме Лагранжа – Дирихле). Примем П_о = 0

- положение равновесия,

- устойчивое равновесие.

Отбрасывая слагаемые третьего и более высоких порядков малости, имеем:

(б)

где с – квазиупругий коэффициент (коэффициент жесткости).

Уравнение Лагранжа для консервативных сил

(а) ® ,

, т.к. Т не зависит от q.

(б) ®

Т.о. уравнение Лагранжа второго порядка примет вид

степенью свободы.

(1)- уравнение собственных колебаний системы с одной

Т.о. нами получено линейное д.у.д. →

Замена точного диф. уравнения движения (отбрасывая члены более высоких порядков) линейным называется линеаризацией.

Поделим обе части полученного д.у.(1) на а и обозначим , получим

коэффициентом (без правой части),

- линейное однородное д.у. второго порядка с постоянным

- круговая (циклическая) частота колебаний.

Характеристическое уравнение ; корни мнимые l₁,₂ = ± ki.

На основе теории диф. уравнений его решение

с₁, с₂ – произвольные постоянные.

Начальные условия при t = 0

собственных колебаний.

- одна из 2^х основных форм

Выражение для q в амплитудной форме

Собственные линейные колебания являются гармоническими.

- амплитуда колебаний.

Т.о. А – const и определяется начальными условиями.

a - начальная фаза колебаний (0 - 2p),

kt + a - фаза колебаний ( при t = 0),

- период.

t - const; не зависит от А и, следовательно, начальных условий.

Независимость t от А называется изохронностью колебаний.

Дата добавления: 2013-12-13