Постройка фундаментов мостов

Б) М.В. Остроградский

А) Н.И. Лобачевский

В обстановке социального подъёма конца XVIII - начала XIX вв. интерес к науке стал расти и для математики наступило время плодотворного контакта с передовыми идеями французской школы Эпохи революции. Гурьев и Рахманов явились первыми выдающимися проводниками этих новых идей.

Вариант 12

Вариант 11

Вариант 10

Вариант 9

Вариант 8

Вариант 7

Вариант 6

Вариант 5

Вариант 4

Вариант 3

Вариант 2

Вариант 1

ВАРИАНТЫ

Таблица 1.7 - Коэффициенты нарастания затрат работ сети

Таблица 1.5 - Исходные данные для оптимизации загрузки

Код работ	Продолжительность работ	Количество исполнителей
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(2,5)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(4,7)
(5,8)
(6,8)
(7,8)

Допустим, что организация, выполняющая проект, имеет в распоряжении только N =15 исполнителей. Но в соответствии с графиком загрузки (рис.1.6), в течении интервала времени с 3 по 11 день для выполнения проекта требуется работа одновременно 19, 17 и затем 18 человек. Таким образом, возникает необходимость снижения максимального количества одновременно занятых исполнителей с 19 до 15 человек.

Проанализируем возможность уменьшения загрузки (19 человек) в течении 4-го дня. Используя, сдвинем работу (3,6) на 1 день, что снизит загрузку 4-го дня до 11 человек, но при этом в 12-й день появится пик - 21 исполнитель. Для его устранения достаточно сдвинуть работу (5,8) на 1 дней, используя.

Проанализируем возможность уменьшения загрузки (18 человек) с 6-го по 11-й день, т.е. в течении интервала времени в 6 дней. Так работа (2,5) является единственной, которую можно сдвинуть таким образом, чтобы она не выполнялась в указанные 6 дней с 6-го по 11-й день. Для этого, используя, сдвинем работу (2,5) на 8 дней, после чего она будет начинаться уже не в 4-й, а в 12 день, к чему мы и стремились. Но поскольку и для сдвига работы (2,5) был использован полный резерв, то это влечет за собой обязательный сдвиг на 7 дней работы (5,8), следующей за работой (2,5).

Рис.1.6 - Графики загрузки (а) и привязки (b) до оптимизации

В результате произведенных сдвигов максимальная загрузка сетевой модели уменьшилась с 19 до 15 человек, что и являлось целью проводимой оптимизации. Окончательные изменения в графиках привязки и загрузки показаны на рис.1.7 пунктирной линией.

Проведенная оптимизация продемонстрировала следующее различие использования свободных и полных резервов работ. Так сдвиг работы на время в пределах ее свободного резерва не меняет моменты начала последующих за ней работ. В то же время сдвиг работы на время, которое находится в пределах ее полного резерва, но превышает ее свободный резерв, влечет сдвиг последующих за ней работ

Рис.1.7 - Графики загрузки (а) и привязки (b) после оптимизации

1.2.4 Оптимизация сетевых моделей по критерию «Время-затраты»

Целью оптимизации по критерию " Время - затраты " является сокращение времени выполнения проекта в целом. Эта оптимизация имеет смысл только в том случае, когда время выполнения работ может быть уменьшено за счет задействования дополнительных ресурсов, что приводит к повышению затрат на выполнение работ (см. рис.1.8).

Для оценки величины дополнительных затрат, связанных с ускорением выполнения той или иной работы, используются либо нормативы, либо данные о выполнении аналогичных работ в прошлом. Под параметрами работ и понимаются так называемые прямые затраты, непосредственно связанные с выполнением конкретной работы. Таким образом, косвенные затраты типа административно-управленческих в процессе сокращения длительности проекта во внимание не принимаются, однако их влияние учитывается при выборе окончательного календарного плана проекта.

.

Рис.1.8 - Зависимость прямых затрат на работу от времени ее выполнения

Важными параметрами работы при проведении данного вида оптимизации являются:

1. Коэффициент нарастания затрат

,

который показывает затраты денежных средств, необходимые для сокращения длительности работы на один день;

2. Запас времени для сокращения длительности работы в текущий момент времени

,

где - длительность работы на текущий момент времени, максимально возможное значение запаса времени работы равно

.

Эта ситуация имеет место, когда длительность работы еще ни разу не сокращали, т.е..

Общая схема проведения оптимизации "время -затраты"

1. Исходя из нормальных длительностей работ, определяются критические и подкритические пути сетевой модели и их длительности и.

2. Определяется сумма прямых затрат на выполнение всего проекта при нормальной продолжительности работ.

3. Рассматривается возможность сокращения продолжительности проекта, для чего анализируются параметры критических работ проекта. Для сокращения выбирается критическая работа с min коэффициентом нарастания затрат, имеющая ненулевой запас времени сокращения.

Время, на которое необходимо сжать длительность работы, определяется как

,

где - разность между длительностью критического и подкритического путей в сетевой модели. Необходимость учета параметра вызвана нецелесообразностью сокращения критического пути более, чем на единиц времени. В этом случае критический путь перестанет быть таковым, а подкритический путь наоборот станет критическим, т.е. длительность проекта в целом принципиально не может быть сокращена больше, чем на.

4. В результате сжатия критической работы временные параметры сетевой модели изменяются, что может привести к появлению других критических и подкритических путей. Вследствие удорожания ускоренной работы общая стоимость проекта увеличивается на величину

.

5. Для измененной сетевой модели определяются новые критические и подкритические пути и их длительности, после чего необходимо продолжить оптимизацию с шага 3. При наличии ограничения в денежных средствах, их исчерпание является причиной окончания оптимизации. Если не учитывать подобное ограничение, то оптимизацию можно продолжать до тех пор пока у работ, которые могли бы быть выбраны для сокращения, не будет исчерпан запас времени сокращения.

Пример проведения оптимизации сетевой модели по критерию "Время - затраты"

Проведем максимально возможное уменьшение сроков выполнения проекта при минимально возможных дополнительных затратах для следующих исходных данных (табл.1.6, рис. 1.9).

Таблица 1.6 - Исходные данные для оптимизации "Время -затраты"

	Нормальный режим	Ускоренный режим
(1,2)
(1,4)
(2,3)
(2,4)
(3,5)
(4,5)
руб./день	руб.

Рис.1.9 - Исходная сетевая модель

Исходя из нормальных длительностей работ получаем следующие характеристики сетевой модели:

1. Общие затраты на проект руб.

2. Длительность проекта дней. Критический путь или.

3. Подкритический путь или, дней.

Кроме того, вычислим коэффициенты нарастания затрат и максимальные запасы времени сокращения работ сетевой модели (табл. 1.7).

	[дни]	[руб./день]
(1,2)		7,00
(1,4)		3,00
(2,3)		3,50
(2,4)		2,00
(3,5)		0,60
(4,5)		1,00

I шаг. Для сокращения выбираем критическую работу с минимальным коэффициентом руб./день. Текущий запас сокращения времени работы на данном шаге равен дня. Разность между продолжительностью критического и подкритического путей дня. Поэтому согласно описанной схеме оптимизации сокращаем работу на дня. Новая текущая длительность работы дня, а запас ее дальнейшего сокращения сокращается до дня. Измененный сетевой график представлен на рис.1.10

Рис.1.10 - Сетевая модель после первого шага оптимизации

После ускорения работы возникли следующие изменения.

1. Затраты на работу возросли на и общие затраты на проект составили руб.

2. Длительность проекта дней. Критические пути и.

3. Подкритический путь, дней.

II шаг. Одновременное сокращение двух критических путей можно провести либо ускорив работу, принадлежащую обоим путям, либо одновременно ускорив различные работы из каждого пути. Наиболее дешевым вариантом является ускорение работ и - 1,60 руб./день за обе работы, тогда как ускорение работы обошлось бы в 7 руб./день. Поскольку, то сокращаем работы и на день. Запасы дальнейшего сокращения времени работ сокращаются до и дней. Измененный сетевой график представлен на рис.1.11.

Рис.1.11 - Сетевая модель после второго шага оптимизации

После ускорения работ и возникли следующие изменения.

1. Общие затраты на проект составили руб.

2. Длительность проекта дней. Два критических пути и.

3. Подкритический путь, дней.

III шаг. Поскольку на данном шаге работа исчерпала свой запас ускорения, то наиболее дешевым вариантом сокращения обоих критических путей является ускорение работ и - 2,60 руб./день за обе работы. Сокращаем работы и на дня. Запасы дальнейшего сокращения времени работ и обнуляются. Измененный сетевой график представлен на рис.3.5.

Рис.1.12 - Сетевая модель после третьего шага оптимизации

После ускорения работ и возникли следующие изменения.

1. Общие затраты на проект составили руб.

2. Длительность проекта дней.

3. Два критических пути и.

4. Подкритический путь, дней.

IV шаг. Поскольку кроме работы все остальные работы критического пути исчерпали свой запас времени ускорения, то единственно возможным вариантом сокращения обоих критических путей является ускорение работы. Сокращаем работу на дня. Запас дальнейшего сокращения времени работы обнуляется. Измененный сетевой график представлен на рис.1.13.

Рис.1.13 - Сетевая модель после четвертого шага оптимизации

Рис.1.14 – График «Время - затраты»

После ускорения работы возникли следующие изменения.

1. Общие затраты на проект составили руб.

2. Длительность проекта дней. Три критических пути, и.

3. Подкритические пути отсутствуют.

Дальнейшая оптимизация стала невозможной, поскольку все работы критического пути исчерпали свой запас времени ускорения, а значит проект не может быть выполнен меньше, чем за дней.

Таким образом, при отсутствии ограничений на затраты минимально возможная длительность проекта составляет 7 дней. Сокращение длительности проекта с 16 до 7 дней потребовало 28,00 рублей прямых затрат. В отличие от прямых затрат при уменьшении продолжительности проекта косвенные затраты (руб./день) убывают, что показано на графике (см. рис.1.14). Минимум общих затрат (точка А) соответствует продолжительности проекта 14 дней. Если же учитывать ограничение по средствам, выделенным на выполнение проекта, рубля, то оптимальным является выполнение проекта за 9 дней (точка B).

Назв. работы	Норм. длительность	Упорядочение работ   1) A,E и F - исходные работы проекта, которые можно начинать одновременно; 2) Работы B и I начинаются сразу по окончании работы F; 3) Работа J следует за E, а работа C - за A; 4) Работы H и D следуют за B, но не могут начаться, пока не завершена C; 5) Работа K следует за I; 6) Работа G начинается после завершения H и J.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K

Назв. работы	Норм. длительность	Упорядочение работ   1) D - исходная работа проекта; 2) Работа E следует за D; 3) Работы A, G и C следуют за E; 4) Работа B следует за A; 5) Работа H следует за G; 6) Работа F следует за C; 7) Работа I начинается после завершения B, H, и F.
A
B
C
D
E
F
G
H
I

Назв. работы	Норм. длительность	Упорядочение работ   1) С, E и F - исходные работы проекта, которые можно начинать одновременно; 2) Работа A начинается сразу по окончании работы С; 3) Работа H следует за F; 4) Работа I следует за A, а работы D и J - за H; 5) Работа G следует за E, но не может начаться, пока не завершены D и I; 6) Работа B следует за G и J.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J

Назв. работы	Норм. длительность	Упорядочение работ   1) C, J и D - исходные работы проекта, которые можно начинать одновременно; 2) Работа A следует за D, а работа I - за A; 3) Работа H следует за I; 4) Работа F следует за H, но не может начаться, пока не завершена С; 5) Работа G следует за I; 6) Работа E следует за J, а работа B - за E.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J

Назв. работы	Норм. длительность	Упорядочение работ   1) D - исходная работа проекта; 2) Работы С, E и F начинаются сразу по окончании работы D; 3) Работы A и J следуют за C, а работа G - за F; 4) Работа I следует за A, а работа B - за G; 5) Работа H начинается после завершения E, но не может начаться, пока не завершены I и B.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J

Назв. работы	Норм. длительность	Упорядочение работ   1) F, C и B - исходные работы проекта, которые можно начинать одновременно; 2) Работа E следует за F; 3) Работа A следует за B, а работа G - за A; 4) Работы D и J следуют за E; 5) Работа I следует за C, но не может начаться прежде чем закончатся J и G; 6) Работа H следует за D.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J

Назв. работы	Норм. длительность	Упорядочение работ   1) G - исходная работа проекта; 2) Работы A, I и D следуют за G и могут выполняться одновременно; 3) Работы С и J следуют за А, работа F - за I, а работа B - за D; 4) Работа Е следует за С; 5) Работа H следует за B, но не может начаться, пока не завершена F.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J

Назв. работы	Норм. длительность	Упорядочение работ   1) С, D и E- исходные работы проекта, которые можно начинать одновременно; 2) Работа A следует за С, а работа F начинается сразу по окончании работы А; 3) Работа G следует за F; 4) Работа B следует за D, а работы I и J следуют за B; 5) Работа H следует за I и E, но не может начаться, пока не завершена G.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J

Назв. работы	Норм. длительность	Упорядочение работ   1) A, F и G- исходные работы проекта, которые можно начинать одновременно; 2) Работы H и B начинаются сразу по окончании работы F; 3) Работа J следует за А, а работа I - за G; 4) Работа E следует за H; 5) Работы C и K следуют за B и I, но не могут начаться, пока не завершена J; 6) Работа D следует за E и C.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K

Назв. работы	Норм. длительность	Упорядочение работ   1) A, I и D - исходные работы проекта, которые можно начинать одновременно; 2) Работа F следует за A, работа B - за I, а работа C - за D; 3) Работы J и G следуют за F; 4) Работа E следует за J; 5) Работа H начинается после завершения E, G, B и C.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J

Назв. работы	Норм. длительность	Упорядочение работ   1) C, I и G- исходные работы проекта, которые можно начинать одновременно; 2) Работы J и B начинаются сразу по окончании работы I; 3) Работа H следует за C, а работа A - за H; 4) Работа F следует за G; 5) Работа E следует за B; 6) Работа D следует за A и E, но не может начаться, пока не завершена F.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J

Назв. работы	Норм. длительность	Упорядочение работ 1) C, F и I- исходные работы проекта, которые можно начинать одновременно; 2) Работа D следует за C, а работа H - за F; 3) Работы A и B следуют за I; 4) Работа G следует за H, но не может начаться, пока не завершены D и A; 5) Работа E следует за G; 6) Работа J следует за E и B.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J

4. Русские учебники начала XIX века и их авторы

О вкладе Гурьева и его последователей и учеников мы уже говорили выше.

В 20-х годах XIX века появилось новое поколение уже самостоятельных русских учебников и учебных пособий по математике, авторами которых были Д.М. Перевощиков, Т.Ф. Осиповский и др.

Дмитрий Матвеевич Перевощиков (1788-1880) – русский астроном и математик. Родился в Пензенской губернии в дворянской семье, вместе с братом Василием, будущим писателем, философом и переводчиком, учился в Казанской гимназии. В 1808 стал одним из первых выпускников физико-математического факультета Казанского университета. Окончив его, начал работать старшим учителем математики в Симбирской гимназии (1809-1816).

В Симбирске он написал диссертацию о законе Ньютона, за которую в 1813 году получил от Казанского университета степень магистра. В 1818 г. был приглашён в московский университет, где преподавал сначала трансцендентальную геометрию, а затем все курсы астрономии, иногда (временно) прикладную математику и механику твердых и жидких тел. (с 1826 г. - профессор астрономии, 1833-1835 и 1836-1848 - декан отделения физических и математических наук, 1848-1851 – ректор университета). По его инициативе и под его руководством в 1830-1832 годах была построена Московская университетская обсерватория на Пресне, которую он возглавлял до 1851 г. В это же время (с 1820-х годов) им напечатано множество математических сочинений. Уйдя в отставку в 1851 г., поселился в Санкт-Петербурге, через год стал адъюнктом и работал в Петербургской Академии наук, а с 1855 г. - академиком АН.

По свидетельству современников, Д.М. Перевощиков был блестящим лектором – «преподавал математику вдохновенно, как поэт, как бы создавая её во время изложения, со страстной любовью к ней, которую сообщал и слушателям».

Хотя чисто ученые труды Дмитрия Матвеевича не внесли ничего существенно-ценного и нового в науку, тем не менее, его преподавательская деятельность, доставившая России многих известных математиков и воспитавшая несколько поколений, имеет громадное значение. Также Перевощиков известен как автор популярных в России учебников «Арифметика для начинающих» (1820), «Главные основания аналитической геометрии 3-х измерений» (1822), «Гимназический курс чистой математики» (1838), «Основания алгебры» (1854). Большую известность приобрела изданная в 1826-1837 гг. 13-томная «Ручная математическая энциклопедия», по которой, как говорили, «училась вся Россия», в частности М.Ю. Лермонтов, Н.В. Гоголь.

Так Гоголь в 1827 г. писал: «Не знаю, как воздать хвалу этому образцовому сочинению. Верите ли, что я, только читая её, понял всё то, что мне казалось тёмным, неудовлетворительным, когда проходил математику». М.Ю. Лермонтов также считал эту книгу одним из самых образцовых сочинений такого рода на русском языке.

Основные оригинальные исследования Перевощикова принадлежат астрономии, в основном - области небесной механики. Его труд «Вековые возмущения семи больших планет» (1859-1861) явился дальнейшим развитием классических исследований Ж. Л. Лагранжа и П. С. Лапласа. Вошёл в историю отечественной науки также как выдающийся популяризатор науки. Статьи Перевощикова по истории астрономии, которые печатались в журналах «Современник», «Отечественные записки» и других, сыграли большую роль в распространении научных знаний в России.

Большое значение имели проведенные Перевощиковым исследования научного наследия М. В. Ломоносова, особенно его работ по физике, атмосферному электричеству, географии. Перевощиков установил приоритет Ломоносова в открытии атмосферы Венеры и значение этого открытия для утверждения гелиоцентрического мировоззрения.

Тимофей Федорович Осиповский (1765-1832) – русский математик и философ-рационалист, учитель М. В. Остроградского. Родился в семье сельского священника, был отдан во Владимирскую семинарию, но незаурядные способности юного семинариста обратили на себя внимание его воспитателей. Пытливый ум, стремление всегда помочь другому разобраться в самых сложных вопросах и исключительная трудоспособность предвещали ему будущность учёного и педагога.

В 1783 году в Петербурге была учреждена первая в России учительская семинария, в которую были вызваны из духовных академий и семинарий лучшие студенты для подготовки к учительской деятельности, в том числе и Осиповский. В дальнейшем она была преобразована в Учительскую гимназию, в 1804 г. – в Педагогический, в 1816 г. – в Главный педагогический институт, в 1819 г. – в Петербургский университет. В качестве преподавателей сюда были приглашены академические профессора и адъюнкты, в том числе и непосредственные ученики Л. Эйлера. Изложение математики велось с подробными доказательствами и пояснениями, занятия проводились по лучшим учебным руководствам того времени, многие из которых принадлежали перу Л. Эйлера. Все это обеспечивало ученикам не только прочные знания по предмету, но и хорошую методическую подготовку.

По окончании семинарии Осиповский был сначала учителем физико-математических наук и русской словесности в Московском главном народном училище, а с 1800 по 1803 гг. - профессором математики Петербургской учительской гимназии, в которой он ранее учился. Он настолько выделялся яркими педагогическими способностями, общей эрудицией и глубокими познаниями в области физико-математических наук, что комиссия об учреждении училищ присылала ему на рецензию издаваемые ею математические сочинения. Однако деятельность Осиповского в этот период не ограничивалась только преподаванием, он работал над составлением и изданием собственного учебника по математике. По замыслу автора здесь должен быть представлен обширный по материалу, связанный единством и последовательностью изложения курс, по которому учащийся мог получить полное университетское математическое образование, во многих разделах даже превышавшее требования тогдашней университетской программы.

Осиповский выполнил свой замысел и написал новый «Курс математики», пользовавшийся в свое время большой известностью и выдержавший три издания. Это руководство полнее, чем все тогда принятые для преподавания в гимназиях, освещало математические знания того времени, начиная от элементарных, начальных сведений по арифметике и кончая вариационным исчислением. Глубокое содержание, строгая научная последовательность, новизна в освещении многих вопросов обеспечили этому курсу заслуженную репутацию одного из лучших руководств того времени по дифференциальному и интегральному исчислению.

В конце 1802 г. Осиповский дал согласие на назначение его профессором математики в Харьковский университет, и в 1803 г., еще до открытия университета (официально он был открыт в 1805 г.) переехал в Харьков. В течение первого десятилетия существования Харьковского университета он преподавал практически все математические дисциплины: геометрию, дифференциальное, интегральное и вариационное исчисления, приложения аналитических функций к высшей геометрии. Благодаря Осиповскому Харьковский университет с самого начала занял ведущее место по постановке преподавания математических дисциплин, наряду с Дерптским и Казанским.

С 1813 по 1820 г. Осиповский исполнял обязанности ректора Харьковского университета. Он инициировал создание при Харьковском университете Общества наук, целью которого было распространение знаний на Юге России. По «Курсу математики» Осиповского, переработанному к тому времени и переизданному в 3-х томах, успешно велось преподавание математики в Харьковском университете всю первую четверть XIX столетия. О содержании 3-ей присоединённой части можно получить некоторое представление из отзыва Н.И. Фусса (1810). Фусс писал, что третий том курса высшей математики Осиповского

«заключает в себе отвлеченные исследования, значительно превышающие даже и тот курс чистой математики, который преподается в университетах… Его можно обратить к тому только малому количеству учеников, которые математику во всей обширности избрали главным предметом своего учения, в особенности же для тех, кто не знает иностранного языка, ибо, сколько известно, нет еще на русском языке такого сочинения, в котором бы так пространно, как тут, рассуждалось бы о приложении теории функций к кривым линиям и поверхностям».

Таким образом, вторая часть третьего тома содержала изложение дифференциальной геометрии. Этот раздел непременно входил в курс лекций, читавшихся Осиповским на втором курсе по 4 часа в неделю.

За время своей педагогической деятельности Осиповский воспитал многих учеников, среди которых были знаменитый Остроградский и профессор Харьковского университета Павловский.

Андрей Федорович Павловский (1788–1856) - профессор математики и ректор Харьковского университета (1780 - 1789). Родился он в семье небогатого помещика, с 1806 по 1809 г. учился в только что открытом Харьковском университете по физико-математическому факультету под руководством известного математика Осиповского, а затем на протяжении 40 лет преподавал там же различные математические дисциплины. В 1816 г. он был произведен в адъюнкты, тремя годами позже утвержден в звании экстраординарного профессора, а впоследствии и ординарного профессора (1826).

В 1810 г. Осиповский передал Павловскому преподавание элементарной математики на первом курсе, а с 1815 г – и преподавание первых разделов высшей математики: теории конечных разностей и дифференциального исчисления. После увольнения Осиповского (в 1820 г.) Павловский на протяжении многих лет вел весь курс высшей математики, в том числе и приложения дифференциального исчисления к высшей геометрии, по собственным тетрадям, следуя Эйлеру, Лагранжу и Монжу.

Павловский писал мало, т.к. многочисленные обязанности отвлекали его от науки. Известно в печати только два его труда: актовая речь 1821 г. о вероятности и логарифмические таблицы Каллета (1820). Но это был профессор по призванию, горячо преданный своей науке, университету и студентам, великолепно читал лекции и обладал большой математической эрудицией. Ему принадлежит заслуга в воспитании молодого Остроградского. Благодаря Осиповскому и Павловскому семнадцатилетний Остроградский в 1818 г. впервые серьезно заинтересовался математикой. В конце 80-х годов в Харьковском университете при физико-математическом факультете на средства сына его, Федора Андреевича Павловского, учреждена премия А.Ф. Павловского за лучшие сочинения по математике.

5. Математика первой половины XIX века в лицах

Имя Н.И. Лобачевского – великого русского математика, «Коперника геометрии» – известно многим, прежде всего как создателя неевклидовой геометрии. Его мысли и деяния в области математического образования менее известны, хотя и достаточно значимы.

Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) родилсяв Нижнем Новгороде в бедной семье мелкого чиновника (есть другие версии). Девятилетним мальчиком он был привезен матерью в Казань и ее стараниями устроен вместе с двумя братьями в гимназию на казенное содержание. В гимназии («Воспоминания» С.Т. Аксакова) увлекательно преподавал математику талантливый учитель Г.И. Карташевский, воспитанник Московского университета, поставивший изучение математики на значительную высоту. И когда юный 14-летний Лобачевский становится в феврале 1807 года студентом университета (тоже казеннокоштным), он уже вскоре проявляет особенную склонность к изучению физико-математических наук, обнаруживая выдающиеся способности. В этом, несомненно, сказались результаты педагогической деятельности у его учителя

Однако в университете Лобачевскому уже не удалось слушать лекции Карташевского, так как последний в декабре 1806 г. был отстранен от должности директором И.Ф. Яковкиным, как «проявивший дух неповиновения и несогласия». Математические курсы в университете стал вести М.Ф. Бартельс, прибывший в Казань в 1808 году. Успехи студента Лобачевского, соревнующегося в своих занятиях с Симоновым, впоследствии известным астрономом и участником кругосветного плавания, неизменно вызывали одобрение М.Ф. Бартельса и других профессоров.

В 1811 г. Лобачевский, минуя степень кандидата, утверждается магистром. После окончания университета он был оставлен в нём для преподавания: с 1814 г. – адъюнкт по математике, с 1816 г. – профессор.

Его руководитель профессор Бартельс - квалифицированный математик, опытный преподаватель, но не ведущий творческой работы. Под его руководством Лобачевский изучил классические труды по математики и механике: «Теорию чисел» Гаусса и первые тома «Небесной механики» Лапласа. В результате он представил два научных исследования:

ü по механике «Теория эллиптического движения небесных тел» (1812),

ü по алгебре «О разрешимости алгебраического уравнения xⁿ - 1 = 0» (1813),

и был ранее срока в 1814 г. произведен в адъюнкт-профессоры (доценты).

Несмотря на тысячи текущих дел и обязанностей, Лобачевский занимается напряженной творческой деятельностью:

· пишет два учебника для гимназий: «Геометрию» (1823 г.) и «Алгебру» (1825 г.). "Геометрия" получает отрицательный отзыв у академика Н.И. Фусса, не оценившего тех изменений, который Лобачевский внес в традиционное изложение, и осудившего введение метрической системы мер, поскольку она создана в революционной Франции. "Алгебра" из-за внутренних проволочек в университете тоже не была напечатана.

· неустанно развивает и шлифует главное дело своей жизни - неевклидову геометрию. В докладе «Сжатое изложение начал геометрии» от 23 февраля 1826 г. – первый набросок теории (дата считается днём рождения неевклидовой геометрии). Рукопись доклада до нас не дошла, а материал был включен автором в его первое сочинение «О началах геометрии» (1829 – 1830).

Принципиально критический пересмотр самых первых, начальных, геометрических понятий, принятых в геометрии еще со времен Евклида (3 век до н.э.) позволил Лобачевскому сделать ему это выдающееся открытие. Избранное им направление исследований способствовало тому, что он не только в геометрии, но и в ряде других областей математики превосходит достигнутый в то время уровень науки:

· им дано уточнение понятия функции, приписанное впоследствии Дирихле;

· четко разграничены непрерывность функции и ее дифференцируемость;

· проведены глубокие исследования по тригонометрическим рядам, опередившие его эпоху на много десятилетий;

· разработан метод численного решения уравнений, несправедливо получивший впоследствии название метода Греффе, тогда как Лобачевский и независимо от него бельгийский математик Данделен разработали этот метод значительно раньше.

В течение более чем 30 лет, до 1846 г., он читал все основные курсы по математике. В 1827 г. его избрали ректором, и 19 лет он самоотверженно трудился на этом посту, добиваясь расцвета Казанского университета. Лобачевский стремился претворить в жизнь свою широкую передовую программу университетского образования, представление о которой дает его речь «О важнейших предметах воспитания», произнесенная им через год после назначения ректором.

Продолжая геометрические исследования, Лобачевский публикует работу за работой:

· 1829-1830 гг. - «О началах геометрии»,

· 1835 г. - «Воображаемая геометрия»,

· 1836 г. - «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам»,

· 1835-1838 гг. - обширная работа «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных»,

· 1840 г. - на немецком языке «Геометрические исследования по теории параллельных», где содержится предельно ясное и лаконичное изложение его основных идей.

Эта мужественная борьба за научную истину резко отличает Лобачевского от других современников, приближавшихся тоже к открытию неевклидовой геометрии. Но научные идеи Лобачевского не были поняты современниками. Его труд «О началах геометрии», представленный в 1832 году советом университета в Академию наук, получил у М. В. Остроградского отрицательную оценку. В иронически-язвительном отзыве на книгу Остроградский откровенно признался, что он ничего в ней не понял, кроме двух интегралов, один из которых, по его мнению, был вычислен неверно (на самом деле ошибся сам Остроградский). Среди других коллег также почти никто Лобачевского не поддержал, росли непонимание и невежественные насмешки. Венцом травли стал издевательский анонимный пасквиль (подписанный псевдонимом С. С.), появившийся в журнале Ф. Булгарина «Сын отечества» (1834).

Непонимание значения его новой геометрии, жестокая неблагодарность современников, материальные невзгоды, семейное несчастье и, наконец, слепота не сломили его мужественного духа. За год до смерти он закончил свой последний труд «Пангеометрия», диктуя его своим ученикам.

Михаилу Васильевичу Остроградскому в истории русской математики принадлежит одно из наиболее почётных мест. Острый и смелый ум, широкое математическое образование и хорошее знание современного ему естествознания позволили ему получить результаты первостепенного значения в механике и различных частях математики. Результаты многих его научных исследований вошли в учебники, но многие его крупнейшие достижения, как это часто случалось с работами русских учёных, остались неизвестными широким научным кругам Запада и позднее были заново получены другими исследователями. Однако, несмотря на то, что лишь относительно небольшая часть его исследований стала достоянием современной ему европейской науки, его имя получило широкое признание далеко за пределами родины. М. В. Остроградский был избран академиком не только Российской, но также Туринской, Римской, Американской академий и членом-корреспондентом в то время наиболее сильной по составу и научному весу Парижской академии наук. О том, как велика была слава М. В. Остроградского в России, можно судить хотя бы по тому, что когда молодые люди отправлялись, учиться в высшие учебные заведения, то друзья и родные напутствовали, их словами "становись Остроградским".

Михаил Васильевич Остроградский (1801–1862) – один из величайших русских математиков рассматриваемой эпохи. Родился в семье помещика Полтавской губернии, учился при Полтавской гимназии в "Доме для воспитания бедных дворян", но гимназического курса обучения не закончил и, по желанию отца, вышел из 3-го класса гимназии. Отец хотел видеть сына военным; это было в то же время сильнейшим желанием мальчика. В 1816 г. М. В. Остроградского повезли в Петербург для зачисления в один из гвардейских полков, но не довезли туда, круто изменив решение по совету одного из родственников, горячо настаивавшего на определении юноши в университет. Это решило его дальнейшую судьбу. В 1817 г. его приняли в Харьковский университет.

М. В. Остроградский ещё долго мечтал о военной службе и учился плохо. Лишь в конце второго года, университетской жизни образ его мыслей резко изменился; он начал работать и сразу же ощутил в себе призвание к математике. Поводом для этого послужило то обстоятельство, что он перешёл жить на квартиру университетского преподавателя математики Павловского. Последний своими беседами сумел пробудить сначала интерес, а затем и страстную любовь М. В. Остроградского к науке. С жаром принявшись за учение, М. В. Остроградский через два месяца поражал Павловского своими успехами. Математический талант давал М. В. Остроградскому возможность налету схватить прочитанное и подмечать промахи и ошибки изложения.

В 1820 г. М. В. Остроградский захотел оформить окончание университета. Для этого следовало сдать экзамены. Он их с блеском сдал. Ректор университета Осиповский, просвещённый и деятельный профессор, предложил присудить М. В. Остроградскому первую учёную степень кандидата. Однако острая политическая борьба, существовавшая среди харьковской профессуры, привела к тому, что её реакционная часть добилась лишения М. В. Остроградского диплома об окончании университета, мотивируя это его вольнодумством и непосещением лекций по богослужению. Так он и не закончил Харьковский университет.

Эта обида не обескуражила М. В. Остроградского, а скорее побудила его к дальнейшей настойчивой работе. В 1822 г. он отправился в Париж и там с жадностью начал впитывать высокую послереволюционную культуру французской математической школы, слушая лекции выдающихся математиков и физиков того времени: Ампера, Коши, Лапласа, Пуассона, Фурье. Вскоре он начал пробовать свои силы и на пути самостоятельного творчества. Уже в 1825 г. Коши в одном из мемуаров с похвалой отзывается об исследованиях М. В. Остроградского, посвящённых вычислению интегралов. В следующем году М. В. Остроградский представил Парижской академии свой первый мемуар " О волнообразном движении жидкости в цилиндрическом сосуде ". Впоследствии он был напечатан в её трудах. В этом мемуаре М. В. Остроградский с большим искусством устанавливает общие выражения для скоростей тяжёлой жидкости в цилиндрическом сосуде и указывает способ определения этих скоростей по начальному виду свободной поверхности и начальным значениям скоростей.

М. В. Остроградскому пришлось заниматься не только научной работой. Денежные затруднения заставили его преподавать в колледже Генриха IV, куда он поступил по рекомендации своих учителей.

В ноябре 1827 г. М. В. Остроградский вернулся в Россию. Сохранились документы, указывающие на то, что тотчас же по возвращении в Петербург он был взят под надзор полиции. Однако репутация талантливого учёного, приобретённая М. В. Остроградским в Париже, раньше него донеслась в Россию и доставила ему, вскоре по приезде в Петербург, звание адъюнкта Академии наук, а в 1830 г. звание экстраординарного и через год ординарного академика по прикладной математике.

В Петербурге М. В. Остроградский продолжал свои научные изыскания и со страстью отдался педагогической работе. Он преподавал в Педагогическом институте, в Институте инженеров путей сообщения, в Морском корпусе, в Михайловской артиллерийской академии, долгое время был главным наблюдателем за преподаванием математики в кадетских корпусах.

В своей педагогической деятельности М. В. Остроградский всегда стремился познакомить слушателя с последними достижениями математической науки. Так, например, в Институте инженеров путей сообщения он рассказывал о работах Абеля по алгебраическим функциям, об исследованиях Штурма относительно отделения корней алгебраических уравнений (теорема Штурма) и других результатах научной деятельности зарубежных математиков. Уровень преподавания М. В. Остроградского в технических учебных заведениях был значительно выше уровня преподавания в университетах, где готовились специалисты-математики. Это не могло пройти бесследно. И действительно, многие ученики М. В. Остроградского сами впоследствии стали профессорами университетов, технических и военных учебных заведений.

Предметом исследований М. В. Остроградского были: математическая физика, аналитическая и небесная механика, а также смежные с математикой области. И он с одинаковым успехом работал во всех этих областях, часто опережая своих европейских коллег.

С особенной любовью занимался он аналитической механикой, к которой относится большинство его учёных работ. Наряду с общими проблемами механики, он дал решения многих частных механических задач в области гидростатики, гидродинамики, теории упругости, теории притяжения и баллистики.

М. В. Остроградский:

· установил, независимо от английского учёного Гамильтона, один из важнейших законов механики, так называемый принцип наименьшего действия;

· сформулировал в наиболее общем виде начало возможных перемещений, устранив в работах Лагранжа, создателя этого предложения, ненужные ограничения и исправив допущенные этим последним ошибки в выводе уравнений динамики;

· опубликовал мемуар о вычислении вариаций кратких интегралов (1834), который появился в 1861 г. в полном переводе как приложение к книге английского математика и историка математики Тотгентера, посвященной истории развития вариационного исчисления;

Кстати, в 1840 г. Парижская академия наук объявила премию за решение проблемы, уже решённой за 6 лет до этого М. В. Остроградским в указанном мемуаре, и присудила её французскому математику Саррюсу за сочинение, содержавшее ошибочные заключения.

· дал важнейшую формулу кратного интегрирования, позволяющую вычисление n-кратного интеграла сводить к вычислению (n-1)-кратного. Эта формула Остроградского в частном случае при n = 3 известна каждому изучавшему курс математического анализа или математической физики.

Исследования М. В. Остроградского по математической физике касаются весьма разнообразных вопросов: распространения тепла, распространения волн на поверхности жидкости, теории удара, уравнений движения упругого тела. Здесь, как и всюду, следуя складу своего ума, он стремится к получению наиболее общих результатов и даёт широкие обобщения.

Несколько работ М. В. Остроградского посвящено баллистике. Эти работы, а также исследования по небесной механике, привели его к работе в области приближённых вычислений, где им даны важные формулы. Значительный интерес М. В. Остроградский проявил к теории алгебраических функций и опубликовал в этом направлении ряд своих исследований. Он нашёл метод выделения алгебраической части интеграла от рациональной функции, приводимый теперь в учебниках.

Три работы М. В. Остроградского посвящены теории вероятностей. Во введении к одной из них М. В. Остроградский говорит, что она может иметь практическое применение при браковке принимаемых материалов. Это замечание характерно для всей деятельности М. В. Остроградского, который привык считать, что прогресс теоретической науки неразрывно связан с приложениями её результатов к практике.

Уже простое перечисление тем проведённых М. В. Остроградским исследований обнаруживает исключительную разносторонность его интересов и творческих способностей. В 1856 г. Парижская академия наук избрала М. В. Остроградского своим членом-корреспондентом в награду за его научные заслуги. Научные связи, завязанные им в Париже, он сохранил до последних дней жизни, состоя, например, в дружеской переписке с Коши до самой его смерти.

В развитие математической культуры в России М. В. Остроградский внёс такой вклад, значение которого трудно переоценить. Своими публичными лекциями М. В. Остроградский способствовал приобщению русской интеллигенции к высоким идеям науки. Лекции М. В. Остроградский читал просто и ясно. При изложении сложных и трудных мест, заметив, что у слушателей встречаются затруднения, он немедленно предлагал иное доказательство, часто импровизируя его тут же у доски. Прочитанные им в 1836-1837 гг. публичные лекции по высшей алгебре и напечатанные под названием " Лекции алгебраического анализа " пользовались большим успехом. В лекциях по небесной механике, прочитанных в заседаниях Академии наук в течение нескольких месяцев, он не только изложил состояние этой науки, но и улучшил самое изложение, наполнив этот курс, как своими доказательствами ряда предложений, так и более принципиальными идеями.

Для характеристики М. В. Остроградского как педагога следует отметить, что способных студентов он поощрял к занятиям, но для слабых и бездарных он был грозой. На экзаменах эти последние прятались, под предлогом болезни ложились в лазарет и откладывали экзамены до более подходящего случая.

М. В. Остроградский интересовался также преподаванием элементарной математики. С целью его улучшения им:

· написан «Конспект по тригонометрии», в котором впервые в учебной литературе дано определение тригонометрических величин исходя из соотношения сторон прямоугольного треугольника – это важный методический приём изучения начал тригонометрии;

· издан учебник «Руководство начальной геометрии», в котором предпринята попытка изложения геометрии в возможно более тесной связи с алгеброй, т.е. более широко использованы аналитические приёмы доказательства. Учебник не нашёл широкого применения, т.к. оказался слишком сложным для учащихся и ненаглядным, оторванным от практики, причём, несмотря на то, что сам автор неоднократно говорил о пользе наглядности и практической направленности математики!?

· совместно с проф. Блюмом опубликована брошюра о преподавании математики в школе;

· создана особая математическая комиссия для окончательного суждения о качестве учебников по математике для средних специальных учебных заведений (В.Я. Буняковский, П.Л. Чебышев, Д.И. Перевощиков, О.И. Сомов, П.И. Лавров).

Остроградский строго подходил к отбору преподавателей математики для военных учебных заведений: каждому кандидату необходимо было сдать ему экзамен и прочитать пробную лекцию на тему, избранную самим Остроградским.

Остроградский считал полезным введение в программу средней школы элементов высшей математики, в 1850 г. он сумел это сделать практически: во всех четырёх общих классах кадетских корпусов стали изучать начала высшей математики.

Большое значение в обучении придавал Остроградский:

ü связи с физикой и естествознанием,

ü историзму,

ü повторению,

ü воспитанию познавательного интереса.

«Заинтересовать ум ребёнка – вот что является одним из главных пунктов нашей доктрины, и мы не пренебрегаем ничем, чтобы привить ученику вкус – мы бы сказали даже – страсть к учёбе».

О лекциях.

Лекции Остроградского по геометрии записал один из студентов Главного педагогического института Николай Сергеевич Будаев (1833–1902), слушавший их в 1851–1852 г. В 1853 г. Будаев окончил с золотой медалью Главный педагогический институт и был оставлен в том же институте адъюнктом физико-математического факультета. Впоследствии он стал заслуженным профессором математики Петербургского университета и Михайловской артиллерийской академии и училища. Указанные лекции Остроградского были посвящены приложениям анализа к геометрии. Они оставались в рукописи и только в XX в. перед началом Великой Отечественной войны были подготовлены к печати Алексеем Николаевичем Крыловым (1863–1945). Но, к сожалению, в годы войны набор текста лекций и другие связанные с ним материалы пропали. Об этих лекциях А.Н. Крылов сделал специальный доклад Президиуму АН СССР. Он отмечал, что лекции М.В. Остроградского начинались с учения о касательных и кривизне линий в пространстве; плоские кривые рассматривались как частный случай пространственных. Далее шли исследования кривизны поверхностей и линии кривизны. С помощью вариационного исчисления было изложено учение о геодезических линиях. По словам А.Н. Крылова, эти лекции отличаются значительными методическими достоинствами и содержат большое число примеров, решенных различными методами; изложение оживляется историческими замечаниями.

Представление о лекциях Остроградского по приложениям дифференциального исчисления к геометрии, которые он читал в Главном инженерном училище, можно получить, ознакомившись с «Курсом дифференциального исчисления» (1849 г.), составленным одним из его слушателей инженером-прапорщиком Виктором Ивановичем Беренсом (1814–1884). Все приложения дифференциального исчисления к геометрии собраны в отдельный раздел, который состоит из шести глав. Первые три из них (с XVII по XIX) посвящены теории кривых на плоскости; следующие две главы (XX и XXI) – теории кривых в пространстве; и, наконец, последняя XXII глава – общей теории соприкасания поверхностей. Таким образом, лекции Остроградского охватывали все разделы дифференциальной геометрии того времени.

в) В.Я Буняковский.

Виктор Яковлевич Буняковский (1804-1889) родился в Подольской губернии в семье офицера. Отец его служил подполковником конно-польского уланского полка и погиб в 1809 году в Финляндии. Первоначальное образование получил в Москве, в доме друга его отца, графа А. П. Тормасова. В 1820 году Буняковский, вместе с сыном графа, отправился за границу, где изучал преимущественно математические науки, слушал лекции в Сорбонне. Он имел возможность заниматься у Лапласа, Пуассона, Фурье, Коши, Ампера, Лежандра и других знаменитых учёных. Здесь же, в Париже, он познакомился с Остроградским, с которым впоследствии дружно работал. В 1825 г. Буняковский защитил диссертацию, состоящую из 2 работ (по аналитической механике «Об одном случае вращательного движения в сопротивляющейся среде» и к математической физике «О распространении тепла внутри твердых тел», получив от парижского факультета наук степень доктора математических наук.

Пробыв за границей в общей сложности семь лет, Буняковский в 1826 году приехал в Петербург, где занялся педагогической деятельностью. Сначала преподавал математику в 1-ом кадетском корпусе (1827), затем - в Морском корпусе, где проработал 36 лет, и в Институте путей сообщения (1830-1846). Прекратив преподавание в корпусе, Буняковский в течение длительного периода не прерывал своей связи с военными учебными заведениями, выполняя разные поручения программно-методического характера. Кроме того, с 1846 по 1860 гг. он являлся профессором Петербургского университета, читал лекции по различным разделам математического анализа, теории вероятностей, аналитической механики и др. С 1858 г был главным экспертом правительства по вопросам статистики и страхования.

В университете В. Я. Буняковский читал курсы:

· аналитической механики (по Остроградскому и Пуассону),

· дифференциального и интегрального исчислений (по Коши),

· теории вероятностей (собственный оригинальный курс),

· интегрирования дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, исчисления конечных разностей.

С 1828 г избран адъюнктом, а в 1830 г. – академиком ПАН, с 1864 г. в течение 25 лет состоял вице-президентом АН. Список сочинений Буняковского насчитывает 168 наименований: преимущественно это труды по теории чисел и теории вероятностей с её приложениями, а также работы, посвящённые вопросам анализа, геометрии и алгебры.

Важнейшее место в исследованиях Буняковского занимают труды по теории вероятностей. Знаменитые «Основания математической теории вероятностей» (1846) - обширный трактат, послуживший началом его всемирной известности.

Кроме теории, в трактате

· изложение истории возникновения и развития теория вероятностей;

· в нём впервые сведено вместе всё то, что было выработано по этой теории трудами известных математиков, начиная с Паскаля и Ферма,

· даны объяснения относительно новых решений самых трудных и запутанных вопросов,

· указано много практических приложений теории вероятностей:

ü к вопросу о средней продолжительности жизни людей различных возрастов,

ü к определению достоверности свидетельств и преданий,

ü к вспомогательным кассам и страховым учреждениям,

ü к определению погрешностей при наблюдениях, к вопросам судебного дела,

ü к вычислению вероятностных потерь в войске и т. д.

Форма «Оснований математической теории вероятностей» отличались такой удобопонятностью и изяществом, что Гаусс и Биенеме (итальянский скульптор) выучились русскому языку по этому сочинению. Ряд позднейших его статей посвящён статистике народонаселения, подсчёту вероятных контингентов русской армии, задачам судопроизводства, определению погрешности наблюдений («О возможности введения определённых мер доверия к результатам некоторых наук и преимущественно статистики» (1846) и даже «Геометрические соображения по наивыгоднейшим расположениям громоотводов» (1863)). Все эти работы способствовали развитию теории вероятностей в России.

Работы по теории чисел о сравнениях, квадратичном законе взаимности и др. возродили в русской науке интерес к теории чисел, успешно разрабатывавшейся в Петербургской АН в XVIII веке. В исследованиях Буняковского в области теории чисел видны непосредственная преемственность с трудами Эйлера, прекрасное знание работ Лежандра и Гаусса.

В математическом анализе наибольшее значение имеет открытое Буняковским неравенство Шварца, хотя Шварц нашёл его на 10 лет позднее Буняковского (в 1875 г.):

.

Наряду с Остроградским, Буняковский сыграл огромную роль в повышении научного уровня преподавания математики в высшей школе и расширении её учебной программы. Ратуя за чёткость и однозначность математической терминологии, он составил «Лексикон чистой и прикладной математики» (до буквы Е), дававший обширные материалы для изучения разных частных математических вопросов. Цель издания «Лексикона», с одной стороны, дать русским читателям «достаточные сведения обо всех важнейших теориях, как старых, так и новейших», с другой - обогатить русскую математическую терминологию, весьма неполную тогда во многих отношениях. Слова в этом «Лексиконе» расположены по французскому алфавиту, с переводом на русский язык, а также с подробным объяснением на русском языке значения каждого термина. Уже после смерти Буняковского в его бумагах была найдена рукопись под заглавием: «Наброски для математического лексикона Буняковского, буквы E, F, G, H, I, J, K, L», с надписью рукой Буняковского: «Не печатать, а передать в архив академии наук, как пособие для справок продолжателям моего математического Лексикона». Эта рукопись сохраняется в отделе рукописей II отделения библиотеки академии.

Для средней школы им написаны два учебника: «Арифметика» (1844) и «Программа и конспект арифметики» (1849). Первый из них был рекомендован Учёным комитетом для гимназий, использовался в большинстве округов России и выдержал два издания

Буняковский, кроме того, был изобретателем (планиметр, пантограф, прибор для измерения квадратов и самосчеты). В Политехническом музее в Москве хранятся его самосчеты, о чем свидетельствует приложенная записка: «Самосчеты академика В.Я. Буняковского. Подарены Музею вдовой его Екатериной Николаевной через непременного члена Императорского Общества любителей Естествознания и Астрономии Владимира Георгиевича фон-Бооль». Из-за своих недостатков самосчеты распространения не получили. Но вскоре был изготовлен компактный прибор, который является видоизмененными самосчетами Буняковского. Этот прибор был обнаружен в 70-х годах прошлого столетия.

Его близкими друзьями были М.В. Остроградский, П.Л. Чебышев, О.И. Сомов и др. Научные заслуги Буняковского были оценены уже современниками. Он был почётным членом всех русских университетов, многих иностранных и русских учебных обществ. При академии наук была учреждена премия его имени за лучшие сочинения по математике. Буняковский пользовался заслуженным авторитетом среди европейских учёных.

При богатстве и глубине содержания, лекции Буняковского всегда отличались поразительной ясностью, увлекательностью и в то же врем

Дата добавления: 2013-12-13