Некоторые законы распределения

Сдвиг кривой предложения.

Рис. 3-4.

В результате того что затраты фирмы на

производство товаров снизились, кривая

предложения сместилась вправо. Если сначала

она занимала положение SS, то теперь — 55.

Биномиальное распределение

Пусть производится n испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании равна р и не зависит от исхода других испытаний (независимые испытания). Так как вероятность наступления события А в одном испытании равна р, то вероятность его ненаступления равна q = 1 – р.

Найдем вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит m раз (m £ n). Пусть событие А наступило в первых n испытаниях m раз и не наступило во всех последующих испытаниях. Это сложное событие можно написать в виде произведения:

Общее число сложных событий, в которых событие А наступает т раз, равно числу сочетаний из n элементов по m элементов. Так как эти сложные события несовместимы, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей. При этом вероятность каждого сложного события равна pm Ч qn-m. Вероятность появления события А m раз в n испытаниях равна:

(формула Бернулли).

Закон биномиального распределения

Нормальное распределение

Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется нормальным, если ее дифференциальная функция f (x) определяется формулой:

где а совпадает с математическим ожиданием величины Х: а = М(Х), параметр s совпадает со средним квадратическим отклонением величины Х: s = s (Х).

График функции нормального распределения, как видно из рисунка, имеет вид куполообразной кривой, называемой Гауссовой, точка максимума имеет координаты (а;). Значит, эта ордината убывает с возрастанием значения s (кривая "сжимается" к оси Ох) и возрастает с убыванием значения s (кривая "растягивается" в положительном направлении оси Оу). Изменение значений параметра а (при неизменном значении s) не влияет на форму кривой, а лишь перемещает кривую вдоль оси Ох.

Нормальное распределение с параметрами а = 0 и s = 1 называется нормированным. Дифференциальная функция в случае такого распределения будет:

Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону.

Тогда вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (a; b):

Вопросы
1. Приведите примеры испытаний, результатом которых становятся дискретные случайные величины, непрерывные случайные величины.

2. Что отражают характеристики случайных величин - математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение? Покажите на графике.

3. Обоснуйте справедливость равенства p₁ + p₂ + … + p_n = 1, используемого в законе распределения случайных величин.

4. Приведите примеры испытаний, где для расчета вероятности могла бы использоваться формула Бернулли.

5. Почему в формуле Бернулли используется число сочетаний, а не, допустим, размещений?

6. Что означает фраза "значения распределены по нормальному закону"?

Ключевые слова

случайная величина, математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, распределение случайной величины, биномиальное распределение, нормальное распределение, формула Бернулли

Дата добавления: 2013-12-13