Теорема Остроградского ─ Гаусса

Через замкнутую поверхность

Поток вектора напряжённости

При определении потока вектора напряжённости через замкнутую поверхность за положительное направление нормали применяется внешняя нормаль (нормаль, направленная наружу области, охватываемой поверхностью).

Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь неё равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий, выходящих из неё.

Для вычисления модуля напряжённости электростатических полей, источником которых являются заряженные тела различной формы, широко используется теорема Остроградского ─ Гаусса.

Поток вектора напряжённости электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, делённой на произведение электрической постоянной и диэлектрической проницаемости среды.

Доказательство

Воспользуемся полем положительного точечного заряда Q. Окружим этот заряд сферой площадью S и радиусом R, центр которой совпадает с точкой нахождения заряда Q.

В каждой точке, лежащей на поверхности этой сферы, модуль напряжённости поля заряда Q будет одинаков и равен

Найдём поток напряжённости через поверхность, данной сферы, для этого разобьём её на малые элементы, найдя потоки вектора напряжённости через каждый элемент. Затем просуммируем алгебраически (с учетом знака) эти потоки.

; ,

так как , то , ;

следовательно, .

Так как , , ; то .

Если заряд находится в непроводящей среде с диэлектрической проницаемостью e, то поток вектора напряжённости электрического поля равен

.

Теорема доказана.

Дата добавления: 2013-12-13