Умножение матриц

Определение 2.1. Произведением матрицы на матрицу называется матрица , каждый элемент которой есть сумма произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы и j-го столбца матрицы .

Рассмотрим пример, иллюстрирующий правило умножения матриц.

Задача 2.1. Найти произведение матриц :

Решение.

Отметим некоторые черты умножения матриц:

1⁰. Матрица имеет 2 столбца, матрица имеет 2 строки, т.е. число столбцов множимого совпадает с числом строк множителя;

2⁰. Матрица имеет размеры , матрица – размеры , размеры матрицы составляют . Иными словами, матрица имеет столько строк, сколько матрица , и столько столбцов, сколько матрица .

Исходя из определения понятия произведения матриц и проведенного исследования результатов умножения, следует сделать следующие выводы:

1⁰. Если матрица имеет размеры , а матрица – размеры , то их произведение, матрица – размеры .

2⁰. Выполнить умножение матриц и можно только в том случае, когда столбцов матрицы совпадает с числом строк матрицы .

В отличие от произведения чисел умножение матриц не обладает в общем случае коммутативным (переместительным) свойством. Очевидно, при умножении не квадратных матриц при перестановке сомножителей мы просто не сможем выполнить умножение. Но и в том случае, когда сомножители – квадратные матрицы, только в редких случаях мы получаем одинаковые результаты при перестановке сомножителей. Проиллюстрируем это факт.

Задача 2.2. Для матриц , найти произведения и и сравнить результаты.

Решение.

;

.

Как видим, результаты не совпали, следовательно,

В заключение разберем решение задачи.

Задача 2.3. Дано:

Найти .

Решение. 1⁰. Найдем произведение матриц

.

2⁰. Вычислим матрицу

+

2⁰. Найдем определитель :

Дата добавления: 2013-12-13