Табличное определение истинности (ложности) сложных суждений

Логические операции с суждениями

Логические операции с суждениями делятся на две наиболее общие группы: 1) преобразование суждений и 2,) отрицание суждений.

Преобразование формы суждения – общее название логических операций: обращение, превращени е, противопоставление предикату.

Обращение суждения (лат. conversio)– это образование нового суждения путем перестановки предиката на место субъекта, а субъекта на место предиката. Такое обращение суждения возможно только в том случае, если оба термина в суждении распределены или оба не распределены.

Если же субъект и предикат суждения имеют неодинаковый объем, то в новом суждении объем предиката, который становится субъектом, либо уменьшается, либо увеличивается. Например, общеутвердительное суждение «Все студенты сдают экзамены» обращается в частноутвердительное суждение «Некоторые, сдающие экзамены – студенты» (объем предиката, ставшего субъектом,уменьшился); а частноутвердительное суждение «Некоторые небесные тела – кометы» обращается в общеутвердительное суждение «Все кометы – небесные тела» (объем предиката, ставшего субъектом в обращенном суждении, увеличился). При обращении количество суждения меняется, а качество – нет.

Превращение суждения (лат. obversio) – это образование нового суждения путем перемены качества исходного суждения на противоположное без изменения его количества, то есть, утвердительные суждения преобразуются в отрицательные и наоборот. Например, общеутвердительное суждение «Все люди – смертны» превращается в общеотрицательное суждение «Ни один бессмертный не есть человек».

Противопоставление предикату (лат. contraposition) ‑ это образование нового суждения путем двух последовательных операций –превращения и обращения. Например, начальное общеотрицательное суждение «Ни один прогульщик не заслуживает уважения» превращается в суждение «Все прогульщики суть не заслуживающие уважения», затем обращается в суждение «Некоторые, не заслуживающие уважения, суть прогульщики».

Сложные суждения можно также преобразовывать друг в друга как то: конъюнкция может быть выражена через дизъюнкцию: ¬(А Λ В) ≡ ¬А V ¬В), дизъюнкция может быть выражена через конъюнкцию: ¬(А V В) ≡ ¬А Λ ¬В, импликация может быть выражена через конъюнкцию: А " В ≡ ¬(А Λ ¬В), импликация может быть выражена через дизъюнкцию: А " В ≡ ¬А V В. Возможны и другие преобразования, подчиняющиеся правилам математики.

Отрицание суждений (лат. inversion – переворачивание) это образование нового суждения путем использования закона исключенного третьего: если исходное суждение истинно, то новое суждение ложно, и наоборот. В отношении отрицания находятся суждения, располагающиеся по диагоналям в логическом квадрате (отношения противоречия).

Операция отрицания также применима к сложным суждениям, как то: формула конъюктивного суждения (А Λ В) отрицается формулой ¬(А Λ В); формула дизъюктивного суждения (А V В) отрицается формулой ¬(А V В); формула импликативного суждения А " В отрицается формулой ¬(А "В). Отрицание конъюктивного суждения эквивалентно дизъюнкции отрицаний: ¬(А Λ В) ≡ ¬А V ¬В, а отрицание дизъюктивного суждения ¬(А V В) эквивалентно конъюнкции отрицаний: ¬(А V В) ≡ ¬А Λ ¬В. Отрицание импликативного суждения эквивалентно конъюктивному суждению с отрицанием одной из логических переменных: ¬(А "В) ≡ А Λ ¬В.

Выше мы уже говорили о том, что суждение может быть классифицировано либо как истинное, либо как ложное, но не то и другое вместе. «Истинность» или «ложность» повествовательного предложения, которые мы приписываем суждению, и есть истинностное значения суждения.

Истинностные функции сложных суждений зависят от истинностных значений составляющих их простых суждений. Все эти зависимости были сведены в одну таблицу, которая получила название «Таблица истинности» или «Матрица истинности». С помощью этой таблицы можно определять истинность или ложность любого сложного суждения. Если истинное суждение обозначить цифрой 1, а ложное обозначить через 0, то сводная таблица будет выглядеть так:

А	В	АΛВ	АVВ	А→В	А ≡ В	А ~А
					1	1 0
				0		0 1
		0

По определению конъюнкция (логическое умножение) двух суждений истинна тогда и только тогда, когда оба простых суждения её составляющие истинны.

При условии, что связка «или» понимается в соединительном смысле (логическое сложение) дизъюнкция ложна тогда и только тогда, когда оба простых суждения её составляющие ложны.

Обоснование истинности импликации состоит в том, что по интуитивному пониманию суждение А"В истинно тогда и только тогда, когда В следует каким-либо образом из А. Так, если суждение А истинно, а суждение В ложно, то мы хотим, чтобы суждение А"В тоже было ложно; этим объясняется вторая строка таблицы (0). Теперь предположим, что суждение В истинно. Тогда естественно считать, что суждение А"В истинно, поскольку следствие независимо от его истинностного значения. Чтобы обосновать истинность импликации при ложности и антецедента, и консеквента, рассмотрим суждение (АΛВ) "А. Независимо от истинности суждений А и В импликация будет принимать значение истины, даже тогда, когда конъюнкция А Λ В ложна, а если антецедент и консеквент ложны, то импликация истинна.

Таблица для эквиваленции определяется из таблиц для конъюнкции и импликации, исходя из того, что эквиваленция это биусловное суждение, и что А≡В значит то же самое, что и (А "В) Λ (В " А).

Из этих определений непосредственно следует, что если А и В суждения, то и состоящие из простых высказываний сколь угодно длинные связанные цепочки тоже суждения.

Если истинностные значения простых суждений известны, то истинностное значение сложного суждения может быть определено математически.

Дата добавления: 2013-12-13