Правило Крамера

Системы из n линейных уравнений с n неизвестными и их частные случаи.

§1). Определение 1. Под системой n линейных уравнений с n неизвестными будем понимать систему вида

(1)

где x₁, x₂, …, x_n – неизвестные системы; числа - коэффициенты системы; числа b_i – свободные члены системы; i – номер уравнения; j – номер неизвестного; i, j=1, …, n.

(2)

В матричной форме с. л. у. (1) имеет вид

АХ=В,

где

(3)

- матрица системы;

- матрица (столбец) неизвестных;

- столбец свободных членов.

Рассмотрим частные случаи с. л. у. (1):

a) при n=2 – это система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

b) при n=3 – это система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

.

Для решения с. л. у. вида (1) применяются следующие методы:

1) Метод подстановки.

Этот метод особенно удобен при n=2, т. е. для систем из 2-х уравнений с двумя неизвестными. Суть метода: в одном из уравнений системы одну переменную выражают через другую и подставляют в другое уравнение.

2) Правило Крамера.

Этот метод удобен в случае .

§2). Вместе с матрицей системы (3) для с. л. у. вида (1) рассматривается определитель системы .

Теорема 1 (правило Крамера). Если в системе (1) , т. е. матрица системы А имеет обратную А^-1, то система (1) имеет, и притом единственное решение

Х=А^-1В,

или, в поэлементной записи,

где Δ_i – определитель, получаемый из определителя Δ заменой i-го столбца на столбец свободных членов.

Пример. Решить систему уравнений

.

Решение: Вычислим определитель системы

Так как , то матрица системы А – невырожденная и согласно правилу Крамера данная с. л. у. имеет единственное решение, которое находится по формулам:

Вычислим определители .

Тогда

Ответ: решение с. л. у. (2, -1, 1).

Дата добавления: 2013-12-13