Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Для вычисления интегралов вида , где − рациональная функция двух переменных, можно использовать подстановки Эйлера




Интегрирование квадратичных иррациональностей.

I

II.Тогда будет или

, следовательно, и т.д.

III Если дискриминант квадратного трёхчлена больше нуля, то трёхчлен можно разложить на линейные множители: . В этом случае применима третья подстановка Эйлера: или (см. пункт 1˚).

Отметим, что в случае, когда , будет и можно использовать любую из первых двух подстановки.

2.Если не пользоваться подстановками Эйлера, интегралы от квадратичных иррациональностей можно ещё привести к виду , где − рациональная функция одной переменной. Дробь можно представить в виде суммы алгебраического многочлена и простых дробей. Поэтому задача интегрирования сводится к вычислению подобных интегралов с заменой на алгебраический многочлен или простую дробь.

В первом случае удобно использоватьследующий приём.

Метод Остроградского:

.

Здесь − алгебраические многочлены степени, соответственно. Коэффициенты многочлена и число подбирают с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Для вычисления интегралов можно использовать подстановку . Оставшиеся интегралы с помощью дробно-линейной подстановки приводятся к виду , а к этому интегралу можно применить подстановку Абеля .

Пример 3.Вычислить интеграл .

1-й способ. Подстановка Эйлера . Она приводит к сложным выкладкам.

2-й способ. . Дифференцируя это соотношение и домножая затем , приходим к равенству . Это приводит к системе линейных уравнений

. Решая систему, находим .Следовательно,

.

3-й способ. . После этой подстановки получаем

.

Другие способы. Для вычисления интеграла можно также воспользоваться подстановками .

Пример 4.Вычислить интеграл .

Прежде всего, .
Для вычисления интеграла делаем замену . Тогда будет

, , или .

Поэтому

.

Пример 5. Вычислить интеграл .

Воспользуемся подстановкой Абеля . Мы имеем и . С другой стороны, . Дифференцируя это равенство, получаем или . Отсюда следует, что . Поэтому . Окончательно получаем





Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 415; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.019 сек.