Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Определение 3





Помощь в написании учебных работ
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

Величина называется нижней суммой Дарбу;

величина верхней суммой Дарбу,

называется нижним интегралом, верхним интегралом.

Второе основное определение.Функция называется интегрируемой на отрезке , если . Их общее значение называется интегралом.

§3. Свойства сумм Дарбý.

Если ясно, о какой функции идет речь, то мы будем писать , и .

Теорема.Пусть − ограниченная на отрезке функция. Тогда для любого разбиения этого отрезка и любого набора точек будет

1) , и, значит, , ;

2) если , то и ;

3) для любых двух разбиений и отрезка .

Упражнение. Доказать пункт 1) самостоятельно.

Доказательство пункта 2).Достаточно рассмотреть случай, когда разность состоит ровно из одной точки, скажем, . Пусть − интервал из разбиения , содержащий точку . Обозначим , , . Тогда будет

,

т, е. .

Точно так же доказывается, что (иллюстрация на Рис. 3).

Доказательство пункта 3).Рассмотрим вспомогательное разбиение , Тогда из утверждений 1) и 2) сразу следует .

§4. Теорема Дарбý. Эквивалентность двух определений интеграла Римана.

Теорема Дарбу. , .

Доказательство первого предельного соотношения.Пусть − произвольное положительное число. Существует разбиение отрезка такое, что . Обозначим , где − колебание на отрезке . Так как для любого разбиения , то нам достаточно доказать, что для разбиения с мелкостью будет . Рассмотрим вспомогательное разбиение .

Ясно, что . В то же время (см. Рис. 4).

Объединяя полученные неравенства, получаем .

Второе предельное соотношение доказывается точно так же.

Теорема. Первое и второе определения интеграла Римана эквивалентны между собой.

Доказательство. 1.Пусть сначала известно, что . Тогда при любом найдётся такое , что для любого разбиения , для которого , и для любого набора, подчинённого , интегральные суммы принадлежат интервалу . Отсюда с помощью свойства 1) сумм Дарбу получаем, что при всех таких . Поэтому из теоремы Дарбу следует, что , а так как число − произвольно малое, то .



2.Пусть теперь известно, что справедливо равенство . Тогда по теореме Дарбу . Так как по свойству 1) сумм Дарбу , то . Доказательство закончено.





Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 505; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.023 сек.