КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Определение 3
Величина называется нижней суммой Дарбу; величина − верхней суммой Дарбу, называется нижним интегралом, − верхним интегралом. Второе основное определение. Функция называется интегрируемой на отрезке , если . Их общее значение называется интегралом. §3. Свойства сумм Дарбý. Если ясно, о какой функции идет речь, то мы будем писать , − и − . Теорема. Пусть − ограниченная на отрезке функция. Тогда для любого разбиения этого отрезка и любого набора точек будет 1) , и, значит, , ; 2) если , то и ; 3) для любых двух разбиений и отрезка . Упражнение. Доказать пункт 1) самостоятельно. Доказательство пункта 2). Достаточно рассмотреть случай, когда разность состоит ровно из одной точки, скажем, . Пусть − интервал из разбиения , содержащий точку . Обозначим , , . Тогда будет , т, е. . Точно так же доказывается, что ( иллюстрация на Рис. 3). Доказательство пункта 3). Рассмотрим вспомогательное разбиение , Тогда из утверждений 1) и 2) сразу следует . §4. Теорема Дарбý. Эквивалентность двух определений интеграла Римана. Теорема Дарбу. , . Доказательство первого предельного соотношения. Пусть − произвольное положительное число. Существует разбиение отрезка такое, что . Обозначим , где − колебание на отрезке . Так как для любого разбиения , то нам достаточно доказать, что для разбиения с мелкостью будет . Рассмотрим вспомогательное разбиение . Ясно, что . В то же время (см. Рис. 4). Объединяя полученные неравенства, получаем . Второе предельное соотношение доказывается точно так же. Теорема. Первое и второе определения интеграла Римана эквивалентны между собой. Доказательство. 1. Пусть сначала известно, что . Тогда при любом найдётся такое , что для любого разбиения , для которого , и для любого набора, подчинённого , интегральные суммы принадлежат интервалу . Отсюда с помощью свойства 1) сумм Дарбу получаем, что при всех таких . Поэтому из теоремы Дарбу следует, что , а так как число − произвольно малое, то . 2. Пусть теперь известно, что справедливо равенство . Тогда по теореме Дарбу . Так как по свойству 1) сумм Дарбу , то . Доказательство закончено.
Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 661; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |