Определение 3

Величина называется нижней суммой Дарбу;

величина − верхней суммой Дарбу,

называется нижним интегралом, − верхним интегралом.

Второе основное определение. Функция называется интегрируемой на отрезке , если . Их общее значение называется интегралом.

§3. Свойства сумм Дарбý.

Если ясно, о какой функции идет речь, то мы будем писать , − и − .

Теорема. Пусть − ограниченная на отрезке функция. Тогда для любого разбиения этого отрезка и любого набора точек будет

1) , и, значит, , ;

2) если , то и ;

3) для любых двух разбиений и отрезка .

Упражнение. Доказать пункт 1) самостоятельно.

Доказательство пункта 2). Достаточно рассмотреть случай, когда разность состоит ровно из одной точки, скажем, . Пусть − интервал из разбиения , содержащий точку . Обозначим , , . Тогда будет

,

т, е. .

Точно так же доказывается, что ( иллюстрация на Рис. 3).

Доказательство пункта 3). Рассмотрим вспомогательное разбиение , Тогда из утверждений 1) и 2) сразу следует .

§4. Теорема Дарбý. Эквивалентность двух определений интеграла Римана.

Теорема Дарбу. , .

Доказательство первого предельного соотношения. Пусть − произвольное положительное число. Существует разбиение отрезка такое, что . Обозначим , где − колебание на отрезке . Так как для любого разбиения , то нам достаточно доказать, что для разбиения с мелкостью будет . Рассмотрим вспомогательное разбиение .

Ясно, что . В то же время (см. Рис. 4).

Объединяя полученные неравенства, получаем .

Второе предельное соотношение доказывается точно так же.

Теорема. Первое и второе определения интеграла Римана эквивалентны между собой.

Доказательство. 1. Пусть сначала известно, что . Тогда при любом найдётся такое , что для любого разбиения , для которого , и для любого набора, подчинённого , интегральные суммы принадлежат интервалу . Отсюда с помощью свойства 1) сумм Дарбу получаем, что при всех таких . Поэтому из теоремы Дарбу следует, что , а так как число − произвольно малое, то .

2. Пусть теперь известно, что справедливо равенство . Тогда по теореме Дарбу . Так как по свойству 1) сумм Дарбу , то . Доказательство закончено.

Дата добавления: 2013-12-13