Признаки, основанные на сравнении с геометрической прогрессией

Теорема (Признак Даламбера).Рассмотрим ряд с положительными членами и предположим, что существует предел . В таком случае ряд сходится, а − расходится. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды (случай неопределённости).

Доказательство.Пусть сначала . Выберем число . Существует номер , такой что будет . Тогда получим

.
Так как , то последовательность ограничена, т.е. существует такое число , что . Таким образом, ряд мажорируется убывающей геометрической прогрессией и потому сходится. Заметим, что из неравенств также следует оценка остатка: , .

Пусть теперь . Выберем число . Существует номер , после которого будет и, значит, . Таким образом, члены ряда вместо того, чтобы стремится к нулю с увеличением номера, быстро увеличиваются

(со скоростью возрастающей геометрической прогрессии).

Обратимся теперь к рядам Дирихле . В этом случае при любом значении . Но, как мы уже знаем, некоторые из этих рядов сходятся , другие − расходятся. .

Теорема. (Признак Коши − радикальный).Рассмотрим ряд с неотрицательными членами и предположим, что существует предел . В таком случае ряд сходится, ряд сходится. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых (случай неопределённости).

Доказательство.Пусть сначала и . Существует такой номер , что будет или . Так как , то данный ряд сходится. Кроме того, ясно, что в этом случае .

Если и , то, как и в теореме Даламбера, начиная с некоторого номера члены ряда больше членов возрастающей геометрической прогрессии.

Контрпример снова предоставляют ряды Дирихле, для которых при всех значении .

Замечание 1.В формулировке этой теоремы можно заменить .

Замечание 2.Можно доказать следующую теорему: если существует , то существует и , причем эти пределы совпадают. Таким образом, признак Коши является более общим утверждением, чем признак Даламбера.