Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Признаки, основанные на сравнении с геометрической прогрессией





Помощь в написании учебных работ
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

Теорема (Признак Даламбера).Рассмотрим ряд с положительными членами и предположим, что существует предел . В таком случае ряд сходится, а − расходится. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды (случай неопределённости).

Доказательство.Пусть сначала . Выберем число . Существует номер , такой что будет . Тогда получим

.
Так как , то последовательность ограничена, т.е. существует такое число , что . Таким образом, ряд мажорируется убывающей геометрической прогрессией и потому сходится. Заметим, что из неравенств также следует оценка остатка: , .

Пусть теперь . Выберем число . Существует номер , после которого будет и, значит, . Таким образом, члены ряда вместо того, чтобы стремится к нулю с увеличением номера, быстро увеличиваются

(со скоростью возрастающей геометрической прогрессии).

Обратимся теперь к рядам Дирихле . В этом случае при любом значении . Но, как мы уже знаем, некоторые из этих рядов сходятся , другие − расходятся. .

Теорема. (Признак Коши − радикальный).Рассмотрим ряд с неотрицательными членами и предположим, что существует предел . В таком случае ряд сходится, ряд сходится. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых (случай неопределённости).

Доказательство.Пусть сначала и . Существует такой номер , что будет или . Так как , то данный ряд сходится. Кроме того, ясно, что в этом случае .

Если и , то, как и в теореме Даламбера, начиная с некоторого номера члены ряда больше членов возрастающей геометрической прогрессии.

Контрпример снова предоставляют ряды Дирихле, для которых при всех значении .

Замечание 1.В формулировке этой теоремы можно заменить .

Замечание 2.Можно доказать следующую теорему: если существует , то существует и , причем эти пределы совпадают. Таким образом, признак Коши является более общим утверждением, чем признак Даламбера.





Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 375; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:

  1. Все признаки, по которым судят о происходящих изменениях, делятся на признаки непрерывного и дискретного типов
  2. Все теоретические науки, основанные на разуме, содержат априорные синтетические суждения как принципы
  3. Вытесняющие алгоритмы планирования, основанные на приоритетах
  4. Геометрической сумме векторов синусоидальных электрических величин соответствует алгебраическая сумма комплексных чисел, изображающих эти векторы.
  5. ЗАКОНЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
  6. Итак, при общем сравнении языка и речи мы выяснили, что речь по своей природе деятельностна. Она порождается и воспринимается в процессе речевого общения, коммуникации.
  7. Ключевые признаки, применяемые для определения видовой принадлежности бактерий.
  8. Лекция 1. Понятие и сущность права. Его основные признаки, принципы и функции.
  9. Математически обоснованные требования к изготовлению каждой части изделия.
  10. Международный договор: понятие, признаки, виды.
  11. Менеджер в сравнении с предпринимателем
  12. Методы, основанные на оперантном обусловливании.

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.028 сек.