Свойства определителей

Понятие определителей

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ ЛГЕБРА.

Пусть дана квадратная таблица, состоящая из двух строк и двух столбцов.

Определителем второго порядка, соответствующим данной таблице, называется число, получаемое следующим образом: a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁.

Определитель обозначается символом:

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Пример. Вычислить определители второго порядка.

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной таблице, состоящей из трех строк и трех столбцов, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

.

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a₁₁, a₁₂, a₁₃ и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка.

.

Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки.

1. Определитель не меняется, если заменить его строки столбцами и обратно, например, для определителя третьего порядка .
2. При перестановке 2-х строк или столбцов определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т.е., например,

1. Если определитель имеет две одинаковые строки или столбца, то он равен нулю. Например,

Действительно, если переставить здесь 2-ю и 3-ю строки, то по свойству 2 этот определитель должен изменить знак, но сам определитель в данном случае не меняется, т.е. получаем | A | = –| A | или | A | = 0.

1. Общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя. Например, .
2. Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю. (Доказательство – проверкой).
3. Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле, например,

.

1. Если к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменит своей величины. Например,

.

Дата добавления: 2013-12-13