Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Производные и дифференциалы высших порядков




Дифференциал сложной функции.

Инвариантная форма записи дифференциала.

Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.

Тогда dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

.

14.2 Формула Тейлора.

 

Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.

 

2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х ¹ а.

 

Тогда между точками х и а найдется такая точка e, что справедлива формула:

 

 

- это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:

 


называется остаточным членом в форме Лагранжа.

 

Формулой Маклоренаназывается формула Тейлора при а = 0:

 

 

 

Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

Если найти производную функции f¢(x), получим вторую производнуюфункции f(x).

т.е. y¢¢ = (y¢)¢ или .

 

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.

.

Общие правила нахождения высших производных.

Если функции u = f(x) и v = g(x) дифференцируемы, то

 

1) (Сu)(n) = Cu(n);

2) (u ± v)(n) = u(n) ± v(n);

3)

.

Это выражение называется формулой Лейбница.

 

Также по формуле dny = f(n)(x)dxn может быть найден дифференциал n- го порядка.

 

 





Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 239; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.021 сек.