Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Градиент




Рассмотрим формулу производной скалярной функции u по направлению λ

Вторые множители являются проекциями единичного вектора , направленного по лучу λ .

Возьмем вектор, проекциями которого на оси координат будут значения частных производных в выбранной т. Р(x, y, z).

Этот вектор называют градиентом функции u (x, y, z) и обозначают graduили

Определение. Градиентом функции u(x, y, z) называют вектор, проекциями которого служат значения частных производных этой функции, т.е.

 

Проекции градиента зависят от выбора т. Р(x, y, z) и изменяются с изменением координат этой точки.

Каждой точке скалярного поля u (x, y, z) соответствует определенный вектор – градиент этой функции.

Итак, производная по направлению может иметь вид:

 

Производная функции по данному направлению равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор этого направления.

Раскрывая скалярное произведение, получим

,

 

 

где φ – угол между вектором gradu и лучом λ.

 

 

достигает наибольшего значения

при φ = 0

 

 

Итак, есть наибольшее значение производной в данной т.Р, а направление grad u совпадает с направлением луча, выходящего из т.Р, вдоль которого функция меняется быстрее всего.

Установим связь между направлением градиента функции и поверхностями уровня скалярного поля.

Теорема. Градиент функции u (x,y,z) в каждой точке совпадает с нормалью к поверхности уровня скалярного поля, проходящей через эту точку.

Доказательство. Выберем произвольную т. Р0 (x0, y0, z0).

Уравнение поверхности

уровня, проходящей через

т. будет u(x,y,z)= ,

u0 = u (x0, y0, z0)

 

Уравнение нормали к этой поверхности в т. , будет

Отсюда и следует, что направляющий вектор нормали, имеющий проекции , является градиентом функции u (x, y, z) в т. Р0, ч.т.д.

Таким образом, градиент в каждой точке перпендикулярен касательной плоскости к поверхности уровня, проходящей через данную точку, т.е. его проекция на эту плоскость равна нулю.



Следовательно: Производная по любому направлению, касательному к поверхности уровня, проходящей через данную точку, равна нулю.

Основные свойства градиента функции:

1) grad

2) grad, где С – Const

3) grad

4) grad

5) grad

Все свойства доказываются, используя определение градиента функции.

 

Пример. В т. М(1, 1, 1) найти направление наибольшего изменения скалярного поля и величину этого изменения.

Направление наибольшего изменения функции в точке совпадает с направлением градиента в этой точке.

 

Величина этого изменения равна модулю градиента





Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 922; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.018 сек.