Первообразная функция

Интегральное исчисление.

Связь градиента с производной по направлению.

Градиент.

Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке

,

то этот вектор называется градиентом функции u.

При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.

Теорема: Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов

.

Тогда производная по направлению некоторого вектора равняется проекции вектора gradu на вектор .

Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторого скалярного поля u в какой- либо точке. В физике существуют такие понятия как градиент температуры, градиент давления и т.п. Т.е. направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.

Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F₁(x) = F₂(x) + C.

Дата добавления: 2013-12-13