Механика твердого тела

21. Момент инерции.

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения
называется произведение массы этой точки на квадрат
расстояния от оси:

Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс п материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

J = r²dm, где интегрирование производится по объему тела.

Главный момент инерции — момент инерции относительно главной оси вращения проходящей через центр масс.

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.

Моменты инерции однородных тел массой т, имеющих правильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему:

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиуса R	Ось симметрии	mR^2
Сплошной цилиндр или диск радиуса R	Ось симметрии	mR^2
Прямой тонкий стержень длиной	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара	mR^2

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера:

Момент инерции тела J относительно произвольной оси z равен сумме момента его инерции J_c относительно параллель­ной оси, проходящей через центр масс С тела, и произведения массы т тела на квадрат расстояния a между осями:

Например, момент инерции прямого тонкого стержня длиной относительно оси, которая перпендикулярна стержню и проходит через его конец (эта ось отстоит на /2 от оси, проходящей через центр стержня):

Таким образом величина момента инерции зависит от выбора оси вращения.

22. Кинетическая энергия вращения.

Абсолютно твердое тело вращается около неподвижной оси z проходящей через него. Все точки движутся с одинаковой угловой скоростью = const. Кинетическая энергия тела:

где J_z - момент инерции тела относительно оси Z.

Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий:

Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательного и вращательного движений видно, что мерой инертности при вращательном движении служит момент инерции тела.

23. Момент силы.

Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса- вектора , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу :

M = [r,F]

Модуль момента силы: М = Frsinα = F, где = rsinα - плечо силы — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О; α- угол между rи F.

Моментом силы относительно неподвижной оси z — называется скалярная величина М_z, равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z. Значение момента не зависит от выбора положения точки О на оси z.

24. Основное уравнение динамики

Дата добавления: 2013-12-13