При пересечении кругового конуса, в зависимости от положения секущей плоскости, могут получиться следующие линии пересечения:
окружность, если секущая плоскость Г перпендикулярна к оси вращения конуса (рис.159,а);
эллипс, если секущая плоскость S пересекает все образующие конуса (рис.159,б);
гипербола, если секущая плоскость Р параллельна двум образующим конуса (рис.159,д);
парабола, если секущая плоскость Т параллельна одной образующей конуса (рис.159,в);
прямые линии, если секущая плоскость Q проходит через вершину конуса (рис.159,г);
а
в
б
i2
i2
i2
32
22º42
12
P2
i2
Q2
31
11
S1ºi1
21
41
22º42
32
S2
T2
11
S1ºi1
41
21
11
31
S1ºi1
Г2
S2
12
S2
S2
32
22º42
21
41
31
д
г
51
21
S1ºi1
31
11
61
41
22º42
52º62
32
S2
12
21
41
S1ºi1
22º42
i2
S2
S2
Рис. 159
42º4'2
52º5'2
12
Q2
Проекции линии пересечения конуса плоскостью строятся по отдельным точкам.
22
32º3'2
Пример 1. Построить линию пересечения прямого кругового конуса фронтально проецирующей плоскостью Q (рис. 160).
31
3'1
41
4'1
51
5'1
11
21
S1
Рис. 160
На фронтальной проекции выделяем опорные точки 1 (12) и 2 (22), которые принадлежат очерковым образующим конуса, находим их горизонтальные проекции: 11, 21. Выбираем произвольные точки 3 º 3¢ (32 º 32¢), 4 º 4 ¢ (42 º 42 ¢), 5 º 5 ¢ (52 º 52 ¢). Проводим через вершину конуса и выбранные точки образующие на фронтальной проекции, строя горизонтальные проекции этих образующих, мы определяем и горизонтальные проекции этих точек. После этого все горизонтальные проекции точек соединяем плавной кривой линией. Полученное сечение представляет собой эллипс.
M'2
M1
12
X12
22
A1
S2
S1
A2
B2
Рис. 166
Пример 2. Определить точки пересечения K и L прямой АВ с поверхностью наклонного цилиндра (рис.167).
Через заданную прямую АВ проводим вспомогательную секущую плоскость общего положения S, параллельную образующим цилиндра. Такая плоскость пересечет цилиндр по образующим 11¢ и 22 ¢, то есть по прямым линиям. Эту плоскость зададим двумя параллельными прямыми a и b, проекции которых будут параллельны соответствующим проекциям образующих цилиндра и проходящими через две точки заданной прямой (а Î А, b Î B).
1'2
2'2
Затем определяем горизонтальный след этой плоскости S1, который проходит через горизонтальные следы прямых a и b (ММ¢ = S1). След S1 пересекает основание цилиндра на плоскости П1 в точках 11 и 21.
A2
Пример 3. Определить точки пересечения прямой АВ с поверхностью сферы (рис. 168).
22º32
51
x12
К2
К1
12
В1
42
L2
41
A1
L1
11
S2
Q2
B2
N'2
21
6'1
5'1
31
62º6'2
T2
61
Заключаем прямую АВ во фронтально проецирующую плоскость S (S2). Строим сечение сферы плоскостью S. Фронтальная проекция сечения представляет собой прямую линию, совпадающую со следом плоскости S2. Выбираем опорные точки: верхнюю (12), нижнюю (42), точки границы видимости относительно плоскости П1 (22 º 32). Без дополнительных построений, используя лишь линии связей, находим на горизонтальной проекции экватора проекции 31 и 21, на проекции главного меридиана проекции 11 и 41. Затем произвольно выбираем на плоскости П2 ряд промежуточных точек: 52 º 52 ¢, 62 º 62¢, которые строим, используя дополнительные секущие плоскости уровня Т(Т2) и Q(Q2). Эти плоскости пересекают сферу по параллелям, проекции которых на П1 представляют собой окружности. Все построенные на горизонтальной плоскости проекции точки соединяем плавной кривой линией (эллипс) с учетом Рис. 168
видимости поверхности сферы: точки, расположенные на сфере выше экватора, на плоскости П1 будут видимыми, ниже – не видимыми.
Искомые точки пересечения K и L прямой АВ с поверхностью сферы находим в результате пересечения прямой с построенным сечением.
Пример 4. Определить точки пересечения прямой АВ со сферой, используя при этом способы преобразования проекционного чертежа (рис. 169).
Через заданную прямую АВ проводим горизонтально проецирующую плоскость S^П1 (любая плоскость пресекает сферу по окружности).
Способом замены плоскостей проекций определяем натуральную величину сечения сферы плоскостью S. Для этого проводим новую плоскость проекций П4 ‖S. В новой системе плоскостей проекций П1/П4 ось X14 проведена параллельно S1. На плоскости П4 строим новую про-
екцию сферы с центром в точке О4 и заданного радиуса, а также новую проекцию прямой АВ Рис.169
(А4В4). Окружность сечения сферы плоскостью S
спроецируется на плоскость П4 в виде концентрической окружности из того же центра О4 диаметром, равным хорде 1121.
Определяем точки K4 и L4 пересечения заданной прямой АВ с построенной окружностью сечения сферы плоскостью S. По линиям связей переносим построенные точки на прямую АВ в системе П1/П2.
В исходной системе плоскостей проекций определяем видимость прямой и заданной сферы. Часть прямой, расположенная внутри сферы, не видна на всех проекциях (это отрезки K1L1 и K2L2). Видимость других участков прямой зависит от видимости точек, в которых она пересекает сферу. Так как очка L2 расположена выше экватора, то на П1 отрезок В1L1 будет видимым. Точка К1 расположена перед главной меридианальной плоскостью, поэтому на П2 отрезок А2К2 видимый. На плоскости П1 часть прямой АК будет видна только за пределами сферы, так как ZА < Z0. На плоскости П2 видна часть прямой ВL только за пределами сферы, так как YL < Y0.
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление
Затем определяем горизонтальный след этой плоскости S1, который проходит через горизонтальные следы прямых a и b (ММ¢ = S1). След S1 пересекает основание цилиндра на плоскости П1 в точках 11 и 21.
Пример 3. Определить точки пересечения прямой АВ с поверхностью сферы (рис. 168).
Искомые точки пересечения K и L прямой АВ с поверхностью сферы находим в результате пересечения прямой с построенным сечением.