Плоскость S, касательная к поверхности вращения в заданной на ней точке А, определяется двумя прямыми t, касательными к любым двум кривым линиям поверхности, проходящим через заданную точку. За такие линии обычно принимают параллель и меридиан поверхности вращения (рис. 187).
На рис. 188 на эпюре Монжа показаны построения касательной плоскости к поверхности вращения в заданной точке К на поверхности.
Наиболее целесообразно эту плоскость задать ее главными линиями (горизонталью h и фронталью f), проходящими через точку K. Фронтальная проекция h2 горизонтали h будет проходить через точку К2 параллельно экватору сферы. Для определения положения горизонтальной проекции h1 горизонтали h через точку К проведем горизонтальную секущую плоскость уровня Г. При пересечении сферы этой плоскостью получим параллель l1. Поскольку горизонталь h должна касаться этой параллели в точке К, то ее горизонтальная проекция h1 должна касаться окружности l'1 в точке К1, в которую проецируется параллель l1 на горизонтальную плоскость проекций П1. Аналогично проведем фронталь f касательной плоскости.
На рис. 189 показаны построения касательной плоскости к поверхности вращения общего вида. Касательная плоскость определяется касательной прямой а к параллели точки К и касательной прямой b к меридиану этой точки.
Для определения фронтальной проекции В2 касательной прямой меридиональную плоскость Г путем вращения ее вокруг оси i поверхности совмещаем с фронтальной меридиональной плоскостью. Касательная b занимает положение ` b, в котором определяется точка S пересечения ее с осью i поверхности вращения.
i
t
t
A
S
K
t2
t1
W
q
l1
l2
Рис. 186 Рис. 187
a2
a1
ГП1
S2
S1ºi1
`b1
`b2
K2
i2
b2
K1
b1
h1
f1º l21º Ф1
l21
l22
K2
K1
Q1
O1
Г2º l12º h2
O2
f2
Q2
Рис. 188 Рис.189
При восстановлении плоскости Г точка S не меняет своего положения и, следовательно, искомой фронтальной проекцией касательной является прямая линия b2. Плоскость, заданная двумя пересекающимися в точке К касательными а и b, является касательной плоскостью к заданной поверхности вращения в точке К. Плоскость, касательная к поверхности вращения в данной на ней точке, перпендикулярна меридиональной плоскости, проходящей через эту точку.
Касательные прямые к меридиональным кривым в точках одной и той же параллели являются образующими соприкасающегося по этой параллели конуса вращения с вершиной S на оси поверхности вращения. Плоскость, касательная к торсу, касается этой поверхности по ее прямолинейной образующей. На рис. 190 построена касательная плоскость в точке А к цилиндру.
Рис. 190Рис. 191
Здесь касательная плоскость S определена образующей цилиндра, проходящей через точку А и касательной к направляющей линии а в точке 1 пересечения образующей с направляющей линией.
На рис. 191 построена касательная плоскость в точке А к конусу. Касательная плоскость определена образующей SA, проходящей через точку А, и касательной к направляющей линии а конуса в точке 1 пересечения образующей с направляющей линией.
На рис. 192 на эпюре Монжа показано построение плоскости, касательной к поверхности конуса в точке К. Наиболее целесообразно эту плоскость задать образующей а, проходящей через точку К, и горизонталью плоскости h.
Построение касательной плоскости к конической поверхности, проходящей через точку Е, расположенную вне поверхности, показано на рис. 193.
Через данную точку Е и вершину S конуса проведена прямая SE и определена точка К пересечения ее с плоскостью П направляющей линии конуса. Из точки К проведены касательные К1 и К2 к направляющей линии и через полученные точки касания проведены образующие S1 и S2. Плоскости SК1 и SК2, проходящие через данную точку Е, являются касательными плоскостями к конусу.
Построение касательной плоскости к цилиндру, проходящей через данную точку Е, когда точка Е лежит вне поверхности цилиндра, показано на рис. 195.
Цилиндр задан направляющей плоскостью кривой линией а и прямолинейной образующей g. Через точку Е проведена прямая линия ЕК, параллельная направлению образующих цилиндра, и определена точка К ее пересечения с плоскостью П направляющей линии. Из точки К проведены касательные К1 и К2 к направляющей линии, а через точки касания 1 и 2 – образующие цилиндра. Плоскости ЕК1 и ЕК2 являются касательными плоскостями к заданной цилиндрической поверхности. Схема построения плоскости, касательной к цилиндру и параллельной заданной прямой b, показана на рис. 195.
K2
Q2
S1
Q1
l11
a2
h1
K1
S
П
a
S
E
K
S2
h2º l12ºГ2
Рис. 192Рис. 193
b
g
g
a
П
a
K
E
П
Рис. 194рис. 195
Цилиндр задан направляющей плоскости кривой линией а и прямолинейной образующей g. Через заданную прямую b проводим вспомогательную плоскость-посредник, параллельную образующим цилиндра. К направляющей линии цилиндра проводим касательную прямую, параллельную следу плоскости-посредника, а через точку касания (1 или 2) проводим образующую цилиндра. Касательная к направляющей и образующая определяют плоскость, касательную к заданной поверхности. Нормалью к поверхности в заданной точке называют прямую, перпендикулярную касательной плоскости к поверхности в рассматриваемой точке (рис. 196).
Построить нормаль к поверхности в некоторой ее точке означает построить нормаль к плоскости, касательной к поверхности в рассматриваемой точке.
K2
t1
l2
n
t2
l1
q
Q2
Q1
h1
l1
O1
a1
n1
n2
O2
h2ºГ2º l2
K1
a2
Рис. 196Рис. 197
Из этого следует, что поверхность имеет нормаль только в обыкновенных точках. Рассмотрим построение нормали к цилиндрической поверхности в точке К (рис. 197).
Построим плоскость, касательную к поверхности цилиндра в точке К. Эту плоскость целесообразно задать образующей а (которая одновременно является фронталью плоскости Qигоризонталью касательной плоскости h). Построим нормаль к плоскости Q в точке К.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление