Кинематика материальной точки. Кинематика твердого тела

Тема 1. Введение. Кинематика материальной точки и твердого тела.

Раздел 1. Физические основы механики

Вопросы:

1. Кинематика материальной точки. Кинематика твердого тела.

2. Элементы релятивистской механики.

Механика — часть физики, которая изучает простейшую и наиболее общую форму движения материи, заключающуюся в перемещении тел или частей тела относительно друг друга и называемую механическим движением.

Развитие механики как науки начинается с III в. до н. э., когда древнегреческий ученый Архимед (287—212 до н. э.) сформулировал закон равновесия рычага (на нем основано устройство всех машин) и законы равновесия плавающих тел. Основные законы механики в значительной мере выяснены итальянским физиком и астрономом Г. Галилеем (1564-1642) и окончательно сформулированы английским ученым И. Ньютоном (1643— 1727).

Механика Галилея — Ньютона называется классической и изучает законы движения макроскопических тел, скорости которых малы по сравнению со скоростью света. Законы движения макроскопических тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света, изучаются теорией относительности, сформулированной А. Эйнштейном (1879-1955). Для описания движения микроскопических тел (отдельные атомы и элементарные частицы) законы классической механики неприменимы — они изучаются квантовой механикой.

Механика подразделяется на три раздела: 1) кинематику; 2) динамику; 3) статику.

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая те причины, которые это движение обуславливают.

Динамика изучает законы движения тел и те причины, которые вызывают или изменяют это движение.

Статика изучает законы равновесия системы тел. Если известны законы движения тел, то из них можно установить и законы равновесия. Поэтому законы статики отдельно от законов динамики физика не рассматривает.

Наиболее простым примером механического движения является движение ма­териальной точки. Материальная точка (МТ) - это тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче можно пренебречь. Понятие материальной точки - абстрактное понятие, но его введение облегчает решение конкретных задач. Например, изучая движение планет по орбитам вокруг Солнца, можно принять их за материальные точки.

Движение тел происходит в пространстве и во времени. Поэтому для описа­ния движения материальной точки надо знать, в каких местах пространства эта точка находилась и в какие моменты времени она проходила то или иное место.

Положение материальной точки определяется по отношению к какому-либо другому, произвольно выбранному телу, называемому телом отсчета. Выбранное таким образом тело условно считается неподвижным, а связанная с ним произвольная система координат называется системой отсчета положений материальной точки.

Рис. 1

В декартовой системе координат, используемой наиболее часто, положение точки А в данный момент времени по отношению к этой системе характеризуется тремя координатами х, у и z или радиус-вектором r, проведенным из начала отсчета в данную точку (рис. 1).

Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчета. Инерциальной системой отсчета является такая, которая либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно относительно какой-то другой инерциальной системы.

Траектория. Вектор перемещени я. Скорость. Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения

При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются. В общем случае ее движение определяется тремя скалярными уравнениями:

х = х (t), y= y(t), z= z(t). (1.1)

эквивалентными векторному уравнению

r = r (t). (1.2)

Число независимых координат, полностью определяющих положение точки в пространстве, называется числом степеней свободы. Если материальная точка движется в пространстве, то, как уже было сказано, она обладает тремя степенями свободы (координаты х, у и z), если по некоторой поверхности, то двумя степенями свободы, если по кривой, то одной степенью свободы.

Исключая t в уравнениях (1.1) и (1.2), получим уравнение траектории материальной точки. Траектория материальной точки — линия, описываемая этой точкой в пространстве. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным.

Рис.2

Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории (рис. 2). Отсчет времени начнем с момента, когда точка находилась в положении А. Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой с момента начала отсчета времени, называется длиной пути S и является скалярной функцией времени:.

Вектор, проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени, называется вектором перемещения.

Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина - скорость, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени ей соответствует радиус-вектор (рис.3).

Рис.3

В течение небольшого промежутка времени точка пройдет путь и получит элементарное перемещение. Величина (1.3) называется средней скоростью движения за время. Направление средней скорости совпадает с направлением. Если в (1.3) перейти к пределу при, то получим выражение для мгновенной скорости v: . (1.4)

Мгновенная скорость, таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиус-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения (рис.3). По мере уменьшения путь все больше будет приближаться к.

(1.5)

Таким образом, числовое значение мгновенной скорости равно первой производной пути по времени:

(1.6)

В случае неравномерного движения, когда числовое значение мгновенной скорости с течением времени изменяется, пользуются скалярной величиной - средней скоростью неравномерного движения на данном участке:

Из рис.3 вытекает, что >, так как и только в случае прямолинейного движения.

Если выражение проинтегрировать по времени в пределах от до, то найдем длину пути, пройденного точкой за время:

(1.7)

В случае равномерного движения, когда числовое значение мгновенной скорости постоянно, выражение (1.7) примет вид

Путь, пройденный точкой за промежуток времени от до, определяется интегралом

(1.8)

Дата добавления: 2013-12-13