Потенциальный характер электро-статического поля

В) Поле равномерно заряженной сферы

Б) Поле двух безграничных параллельных разноименно заряженных плоскостей

А) Поле равномерно заряженной безграничной плоскости.

Теорема Остро-градского-Гаусса и ее применение.

Поток вектора напряженности электростатического поля – число силовых линий пронизывающих площадку, перпендикулярную им (рис.5а).

Для однородного поля и плоской поверхности поток вектора напряженности сквозь площадку равен (рис.5б)

Ф_Е = ES cos α (5)

где α – угол между векторами Е и нормалью n к поверхности S.

Рис.5а. Рис.5б.

Вычисление напряженности поля си­стемы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатиче­ских полей можно значительно упростить, используя выведенную русским математиком М. В. Остроградским (1801—1862) а затем незави­симо от него применительно к электро­статическому полю немецким ученым К. Гауссом (1777-1855) теорему.

Теорема Остроградского Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля в вакууме сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную

(6)

Применение теоремы Остроградского-Гаусса для расчета электрического поля источников различной конфигурации: сферы, безграничной плоскости, бесконечной прямой нити.

Бесконечная плоскость (рис.6) заряжена с постоянной плотностью (- заряд приходящийся на единицу поверхности). Линии напряжен­ности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны.

Рис.6

В качестве замкнутой поверхности выделим цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллель­ны линиям напряженности (cos =0), то поток вектора напряженности сквозь боковую по­верхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований рав­ны и для основания E, совпадает с Е), т. е. равен 2ES. Заряд, заключенный внутри ци­линдра, равен S. Согласно теореме Гаусса, 2ES =, откуда

Е =. (7)

Из этой формулы вытекает, что Е не зависит от длины цилиндра, т. е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, иными словами, поле равномерно заряженной плоскости однородно.

Пусть плоскости заряжены равномерно разно­именными зарядами с поверхностными плотностями и (рис.7).

Рис.7

Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. Как видно из рисунка, слева и справа от плоскостей поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг другу), поэтому здесь напряжен­ность поля Е = 0. В области между плоско­стями Е = Е+Е (Е и E определяются по формуле (7), поэтому результирующая напряженность

Е = (8)

Таким образом, поле в данном случае сосре­доточено между плоскостями и является в этой области однородным.

Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заряжена равномерно с поверхностной плотностью +. Благодаря равномерному распределению заряда по по­верхности поле, создаваемое им, обладает сфе­рической симметрией. Поэтому линии напря­женности направлены радиально (рис.8).

8 Рис.8

Вы­делим мысленно сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r > R, то внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создающий рассматриваемое поле, и, по тео­реме Гаусса, 4nr E = Q/, откуда

(r R). (9)

Если r < R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверх­ности электростатическое поле отсутствует (Е = 0). Вне этой поверхности поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда.

Г) Поле бесконеч­ной прямой нити (цилиндра)

Бесконечная нить радиуса R (рис. 9) заряжена равномерно с линейной плотностью (- заряд приходящийся на единицу длины).

Рис.9

Из соображений сим­метрии следует, что линии напряженности бу­дут радиальными прямыми, перпендику­лярными поверхности нити. В качестве замкнутой поверхности выделим коаксиальный с заряженным цилиндр радиуса r и длиной l. Поток вектора Е сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы параллельны линиям напряженности), а сквозь боковую по­верхность. По теореме Гаусса при r > R, откуда

(r > R). (10)

Если r < R,то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0. Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного бесконечной нити определяется выражением (10), внутри же ее поле отсутствует.

Выберем в электрическом поле какую-либо точку за начальную и будем вести от нее отсчет потенциальной энергии. Для перемещения заряда из начальной точки в данную точку поля при любой форме пути должна быть затрачена одна и та же работа А. Поэтому в любой точке поля потенциальная энергия П заряда численно равна работе, которую необходимо совершить для перемещения заряда в эту точку.

Подобно тому, как потенциальная энергия в поле сил тяготения пропорциональна массе тела, потенциальная энергия электрического поля пропорциональна заряду:.

Величина φ называется электрическим потенциалом поля.

(11)

Потенциал в какой-либо точке электро­статического поля есть физическая вели­чина, определяемая потенциальной энерги­ей единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.

Потенциал является энергетической характеристикой электростатического поля.

Единица электрического потенциала – вольт. 1В - есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1Кл обладает потенциальной энергией 1Дж (1В = 1Дж/Кл).

Работа, совершаемая силами электро­статического поля при перемещении за­ряда Q из точки 1 в точку 2, может быть представлена как

(12)

т. е. равна произведению переносимого заряда на разность потенциалов в началь­ной и конечной точках.

Работа сил поля при перемещении за­ряда Q из точки 1 в точку 2 может быть записана также в виде

(13)

Приравняв (12) и (13), придем к соот­ношению

(14)

где интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей на­чальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения.

Если перемещать заряд Q из произ­вольной точки за пределы поля, т. е. в бесконечность, где по условию потенциал равен нулю, то работа сил электростати­ческого поля, cогласно (12),

или

(15)

Таким образом, потенциал - физическая величина, определяемая работой по пере­мещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность. Эта работа численно равна работе, совершаемой внешними силами (против сил электростатического поля) по перемещению единичного поло­жительного заряда из бесконечности в данную точку поля.

Если поле создается несколькими зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме по­тенциалов полей всех этих зарядов. В этом заключается существенное преимущество скалярной энергетической характеристики электростатического поля - потенциа­ла - перед его векторной силовой характе­ристикой - напряженностью, которая равна геометрической сумме напряжен­ностей слагаемых полей.

Для графического изображения распре­деления потенциала электростатического поля пользуются эквипотенциаль­ными поверхностями - поверхностями, во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение.

Если поле создается точечным заря­дом, то его потенциал,

.

Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае - концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда - радиальные прямые. Следова­тельно, линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эк­випотенциальным поверхностям.

Рассуждения приводят к выводу о том, что линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверх­ностям.

Действительно, все точки экви­потенциальной поверхности имеют оди­наковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверх­ности равна нулю, т. е. электростатические силы, действующие на заряд, всегда на­правлены по нормалям к эквипотенциаль­ным поверхностям. Следовательно, век­тор Е всегда нормален к эквипотенциаль­ным поверхностям, а поэтому линии век­тора Е ортогональны этим поверхностям (рис.10).

Рис.10

Дата добавления: 2013-12-13