Вынужденные колебания

Для получения незатухающих колебаний в системе (механической, электрической, электромеханической, электронной и др.) к ней необходимо подводить энергию для компенсации внутренних потерь. Компенсировать потери энергии можно с помощью внешнего воздействия, которое в общем случае может быть постоянной или изменяться со временем по какому – то закону. Под действием постоянного внешнего воздействия колебания в системе прекратятся, и движение механической системы будет поступательным. Под действием периодически изменяющегося внешнего воздействия в рассматриваемой системе будут происходить колебания, которые теперь уже будут не свободными, а вынужденными.

Вынужденными называются колебания, которые возникают в системе под действием внешнего периодически изменяющегося воздействия. Характер вынужденных колебаний (величины: амплитуда, частота) будет в этом случае определяться характером внешнего возмущающего воздействия и свойствами (характеристиками) самой системы в целом или характеристиками ее отдельных узлов и элементов.

При внешнем возбуждении системы ее сводные колебания в значительной мере будут определять ее вынужденные колебания и резонансные свойства.

Понятие вынужденных колебаний может быть приближенно распространено на системы, содержащие консервативные и нелинейные элементы, если их воздействие приводит к резким (или скачкообразным) изменениям амплитуд и фаз свободных (нормальных колебаний).

Так как свободные колебания в самой системе являются затухающими, то через определенный промежуток времени (времени переходного процесса или процессов) они прекратятся, и в системе установятся вынужденные колебания с частотой внешнего воздействия.

Графическое изображение переходного процесса показано на рис.4а.

x а) б) R t C L ~е установление колебаний

Рис.4

В качестве примера вынужденных колебаний рассмотрим замкнутую электрическую цепь (рис.4б) состоящую из последовательно соединенных: емкости C, индуктивности L и активного сопротивления R, к которым подключен внешний источник энергии с ЭДС изменяющийся по гармоническому закону:

,

где Ω – частота внешней вынуждающей ЭДС.

В рассматриваемом замкнутом электрическом контуре сумма падений напряжений на различных участках равна сумме действующих в нем ЭДС, поэтому

.

Принимая во внимание соотношения, и получим новый вид уравнения суммы падений напряжений и ЭДС в электрической цепи

,

или

. (3)

Дифференцируя по времени последнее уравнение (1) и учитывая получим уравнение

. (4)

Решение дифференциального уравнения (4) имеет вид:

, (5)

где - значение амплитуды установившегося тока в замкнутом электрическом контуре; φ – начальная фаза вынужденных колебаний. Требуется определить аналитические выражения и φ в соответствии параметрами рассматриваемого электрического контура и характеристик внешней возмущающей ЭДС.

Возьмем первую и вторую производные от выражения (5) и подставим из в формулу (4). После сокращения правой и левой частей уравнения на Ω получим:

.

Используя тригонометрические формулы для дальнейших преобразований и перенося все члены в левую часть получим:

.

Последнее равенство должно выполняться для любого момента времени, поэтому коэффициенты при и должны равняться нулю, т.е.

; (6)

. (7)

Из уравнения (6) следует:

. (8)

Возведя в квадрат равенства (6) и (5), а затем суммируя полученные выражения, получим:

,

откуда следует. (9)

Полное сопротивление рассматриваемой электрической цепи (модуль комплексного сопротивления цепи) будет определяться выражением:

, (10)

где - активное сопротивление цепи, - индуктивное сопротивление цепи, - емкостное сопротивление рассматриваемой электрической цепи.

Примерами вынужденных колебаний могут служить колебания механической конструкции под действием переменной нагрузки; колебания мембраны датчика под действием переменного магнитного поля; колебания тока и напряжения в электрической цепи под действием переменной ЭДС и др.

Резонанс может возникнуть лишь в том случае, когда частота гармонических внешних воздействий близка к одной из собственных частот системы либо к их линейной комбинации, если внешнее воздействие меняет параметры системы (параметрический резонанс). При этом важным оказывается также и пространственное распределение воздействия – максимальный эффект достигается при соблюдении не только временного, но и пространственного синхронизма (нелинейная оптика).

Рассмотрим и математически опишем явление резонанса на примере электрической цепи (рис.4б). Если индуктивное сопротивление оказывается равным емкостному сопротивлению, т.е., (11)

то полное сопротивление электрической цепи уменьшится (как будто в электрической цепи имеется только активное R сопротивление). В результате будет наблюдаться значительный рост амплитуды тока циркулирующего в рассматриваемой цепи.

Из равенства (11) следует, что произойдет данный эффект при частоте вынужденных колебаний, равной.

Однако, из ранее проведенного анализа данного контура следует, что - есть частота собственных колебаний контура.

Поэтому, явление резкого возрастания амплитуды установившихся вынужденных колебаний, проявляющееся при приближении значения частоты внешнего возмущения Ω к частоте собственных колебаний системы ω₀, называется резонансом.

В колебательном RLC контуре величина тока при резонансе будет тем больше, чем меньше будет омическое сопротивление рассматриваемой электрической цепи (рис.2).

i ₀ R ₁   R ₂ R ₁< R ₂< R ₃     R ₃ Ω ω₀

Рис.2

Количественной характеристикой резонансных свойств колебательной системы принято считать ее добротность. Она показывает, во сколько раз амплитуда установившихся вынужденных колебаний превышает амплитуду вынужденных колебаний вдали от резонанса, т.е. в той области частот, где амплитуда вынужденных колебаний не зависит от частоты.

Дата добавления: 2013-12-13