Изменение параметров потока в прямом скачке

Для установления количественных соотношений параметров в прямом скачке воспользуемся уравнениями неразрывности, количества движения и энергии.

Учитывая, что

последнее уравнение преобразовывается к виду

или

Из двух первых уравнений, разделив члены уравнения количества движения на r₁w₁ и r₂w₂, получим

Для уравнения энергии можно получить следующую удобную зависимость при w = a = a_кр с учетом того, что a² = kRT.

Тогда уравнение энергии до скачка и после скачка

Выделяем отношения давлений к плотностям для двух сечений

Подставив эти два выражения в уравнение для разности скоростей получим

Разделим все члены последнего уравнения на разность w₁-w₂. Поскольку эта разность не равна нулю, подобная операция корректна.

или .

Следовательно,

Получена удобная формула, из которой вытекает, что в прямом скачке произведение скоростей до и за скачком является постоянной для данного скачка величиной. Отсюда следует

Следовательно, с учетом того, что w₁ > w₂, можно сделать вывод, что скорость до скачка сверхзвуковая, а после скачка - дозвуковая.

Далее путем несложных преобразований можно получить выражения для изменений скорости, давления, плотности и температуры в скачке.

или

Все приведенные выражения могут быть применены для практических расчетов. Заменив коэффициенты скорости l₁ и l₂ на соответствующие числа М₁ и М₂ можно получить выражения для Dw, Dp, Dr и DT в функции числа Маха, хотя аналитические выражения будут более громоздкими.

Из всех приведенных выражений видно, что скачок параметров потока возможен только при l₁ > 1 или М₁ > 1. При l₁ = М₁ = 1, или l₁ < 1, или М₁ < 1 скачок физически невозможен. Скачок уплотнения может быть только в сверхзвуковом потоке; при звуковых и дозвуковых потоках он невозможен.

При M₁ ® ¥, т.е. l ® l_max отношение r₂/r₁ становится равным (k+1)/(k-1). Это означает, что плотность в скачке не может возрастать неограниченно. Для воздуха, например, это отношение равно 6. При высоких температурах для диссоциированных газов отношение плотностей в скачке может быть больше.

В то же время в изоэнтропическом адиабатном процессе (адиабата Пуассона) плотность может возрастать неограниченно. Если связать давления и плотности для прямого скачка, то получим уравнение

Это выражение, для давлений и плотностей в прямом скачке, называется адиабатой Гюгонио. Давления и плотности до и за скачком связаны следующими соотношениями

Дата добавления: 2013-12-13