Вероятность

Виды случайных событий

В силу тех или иных свойств случайные события могут быть:

1. Совместные и несовместные

2. Единственно возможные и неединственно возможные

3. Равновозможные и неравновозможные

4. Противоположные

Несовместимые - такие С.С., которые в данных условиях не могут произойти совместно или, иными словами, появление одного из них исключает появление других С.С. в одном и том же опыте.

Совместимые – могут произойти совместно (не жесткое требование!)

Единственно возможные – такая совокупность событий, из состава которой в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно событие.

Единственно возможные несовместимые события составляют полную группу событий.

Два единственно возможных несовместимых события – противоположные.

Равновозможные события в данном опыте – такие, для которых нет никаких оснований считать, что хотя бы одно из них будет более или менее возможным, чем другие.

Равновозможные события из состава полной группы событий называют случаем, элементарным событием или исходом – т.е. это единственно возможные, несовместимые и равновозможные случайные события.

Вероятность это основное понятие ТВ. Вероятность – это число, характеризующее объективную возможность появления события.

А. Классическое определение вероятности:

Вероятностью события А называется отношение числа случаев, благоприятствующих появлению события А, к числу всех возможных случаев, образующих полную группу событий. Вероятность события А обозначается, как P(A).

Пример: Ящик с 4-мя белыми и 6-ю черными шарами. Событие А – появление белого шара в результате выбора одного шара из ящика. Случай – выемка любого конкретного шара, т.е. число случаев – 10. Случай благоприятствующий наступлению события А – выемка белого шара. Число таких случаев – 4. Таким образом, P(A) = 4/10 = 0.4.

Это схема непосредственного вычисления вероятности. При определении благоприятных случаев (особенно для сложных событий) очень часто используют формулы комбинаторики:

Перестановки из n-элементов, т.е. количество всех возможных последовательностей этих элементов.

P(n,n) = P_n = n! = (n)_n (Факториал n = n! = 1*2*3*…*(n-1)*n, 0! = 1)

Размещение n -элементов по m позициям различающихся, либо составом элементов, либо порядком.

P(n,m) = n(n-1)(n-2)….(n-m+1) = n!/(n-m)! = (n)_m

Сочетания из n-элементов групп по m-элементов, различающихся составом (не порядком)

C(n,m) = C_n^m = n!/m!(n-m)!

C_n^m = C_n^n-m

Правило å (суммы): если некоторый объект А может быть, выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В – n способами, то выбрать либо А, либо В можно (n +m) способами.

Правило П (произведения): если некоторый объект А может быть, выбран из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В может быть выбран m способами, то пара объектов (A,B) в указанном порядке может быть выбрана m*n способами.

Б. Геометрическая вероятность:

Классическое определение не применимо для испытаний с бесконечным числом исходов. Для его устранения вводят понятие геометрической вероятности.

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть площади и т.д.).

Пусть отрезок l является частью отрезка L. На L «наудачу» поставлена точка, которая равновероятно может оказаться в любом месте (точке) отрезка L. Вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна его длине и не зависит от его расположения относительно L.

P = длина l / длина L;

Аналогично для площадей:

P = площадь g / площадь G;

В. Свойства вероятности:

1. Вероятность достоверного события = 1, P(A) = m/n = n/n = 1

2. Вероятность невозможного события = 0, P(A) = 0/n = 0

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1. 0 < P(A) < 1

4. Более возможному событию соответствует б о льшая вероятность и наоборот

5. Если вероятность события А велика (близка к 1), то такое событие почти всегда возникает, поэтому его можем считать практически достоверным. Если событие А имеет очень малую (близкую к 0) вероятность, то такое событие наступает очень редко, поэтому его можно считать практически невозможным.

6. Сумма вероятностей противоположных событий = 1

A – m, P(A) = m/n

B – n –m, P(B) = (n-m)/n

P(A+B) = m/n + (n-m)/n = (m + n – n)/n = n/n = 1

Дата добавления: 2013-12-14