Теорема умножения вероятностей

Произведением 2-х событий А и В называют событие AB, состоящее в совместном появлении этих событий.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Условной вероятностью P_A(B) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.

Теорема умножения вероятностей:

Вероятность совместного появления 2-х событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

P(AB) = P(A)P_A(B) = P(B)P_B(A) = P(B)

Следствие:

Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

P(A₁A₂..A_n) = P(A₁) P_A1(A₂) P_A1A2(A₃)… P_A1…An-1(A_n),

В частности P(ABC) = P(A)P_A(B)P_AB(C)

Независимые события А и В – если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого:

P_A(B) = P(B), или

P_B(A) = P(A)

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи!!

Несколько событий называются попарно независимыми, если каждые 2 из них независимы между собой. Несколько событий называются независимыми в совокупности или просто независимыми, если независимы каждые 2 из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Следствие: Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событие:

P(A₁A₂…A_n) =

Теорема:

Вероятность появления хотя бы одного из событий A₁, A₂, …, A_n, независимых в совокупности, равна разности между 1 и произведением вероятностей противоположных событий

P(A) = 1 – q₁q₂…q_n,

где q_i – вероятность события

Если события A_i имеют одинаковую вероятность p, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна:

P(A) = 1 – (1-p)ⁿ = 1 - qⁿ

Дата добавления: 2013-12-14