Пересечение вытянутых эллипсоидов вращения

Вариант распадения на 4 прямые: 1+1+1+1

Вариант 1+3

Вариант 1+1+2

Лекция 15. Сложные варианты частных случаев пересечения поверхностей второго порядка

Пример простого варианта курсового проекта

Задачи исследования

Дано: две поверхности второго порядка (квадрики), например, прямой круговой конус и прямой круговой цилиндр. Требуется на компьютере для заданной пары построить 3d-модели и чертежи:

1. Общие случаи пересечения (врезка, проницание).

2. Частные случаи пересечения заданной пары квадрик.

3. Построение лемнискаты как варианта касания в одной точке.

4. Соосные поверхности вращения.

5. В случае получения коник в линии пересечения определить тип коники и получить ее метрики.

В курсовом проекте каждый вариант выполняется в пяти видовых окнах, с кратким комментарием и анализом линии пересечения, выводом на печать на А4, представляется как расчетно-пояснительная записка.

Модели должны наглядно (крупно) передавать линию пересечения и исключать участие оснований в пересечении.

Исследовать линию пересечения кругового конуса и кругового цилиндра.

Показать обобщенный файл: Лекция 11, 1.jpg. и файл reseach1(08).jpg

1. Построить исходные тела.
2. Привести их в положение врезки.
3. Построить проницание.
4. Теорема Монжа (2+2).
5. Общая плоскость симметрии. В проекции гипербола. Доказать, что получилась гипербола.
6. Вариант 1+3 для эллиптического конуса + цилиндр.

Спросить о дополнительных занятиях. Напомнить о предстоящем коллоквиуме.

К теме лекции: в особых случаях пересечения квадрик линия их пересечения распадается на 1+3, 1+2, 2+2, 1+1+1+1.

Пересечение двух конусов по параболе +эллипс. Задача 4.12, а.

Построить круговой конус. Создать меридиональное сечение. Построить окружность (Монж) с центром на оси конуса, касательную к одной из очерковых образующих. Скопировать эту образующую, сделав ее касательной к окружности с другой ее стороны и принять за образующую второго конуса….

Пересечь конусы, извлечь линию, показать параболу, провести исследование по теореме Паскаля и инженерному дискриминанту.

Можно показать файл: Лекция 10 "Монж элл+парабола.dwg"

Построить фокус параболы, пользуясь ее оптическими свойствами. Построить директрису. Показать основное свойство параболы: расстояние от точки до фокуса= расстоянию до директрисы.

(«Гиперболо́ид инжене́ра Га́рина» — художественный фильм, снятый в 1965 году в СССР по одноимённому роману А. Н. Толстого. 1925 год. Профессор Манцев изобретает оружие небывалой разрушительной силы — гиперболоид, генератор мощного теплового луча. Инженер Гарин крадёт этот прототип современной лазерной пушки и решает использовать для идеи — стать правителем мира, не догадываясь, что последствия будут опасными и для него самого. За Гариным и опасным изобретением Манцева начинается охота…).

Комментарий мой: А.Н. Толстой не знал геометрии и назвал излучатель гиперболоидом, тогда как это был параболоид или эллипсоид. У параболоида формируется параллельный пучок лучей. У эллипсоида лучи из одного фокуса попадают во второй. Поэтому сделав эллипсоид с переменным фокусным расстоянием …

Пересечение двух конусов по гиперболе + эллипс. Задача 4.12, а.

К конусу добавить вторую чашку. Провести исследование возникшей кривой. Доказать, что это гипербола.

Решить задачи Задача 4.12, а, б в тетради.

Варианты 1+1+2 и 1+3, то есть с образованием прямых линий в пересечении, возможны при взаимном пересечении линейчатых квадрик: гиперболоид, конус, цилиндр, гиперболический параболоид.

Построить гиперболоид с горловиной. Из точки основания провести касательные к горловине. Построить конус, для которого полученные касательные будут образующими. Персечь…

Пример 1+1+2 длягиперболоида и цилиндра есть в тетради.

Достаточно совместить линейчатые квадрики по одной общей образующей. В остатке 4-1=3 образуется кривая 3-его порядка. Продолжить пример гиперболоид + конус или цилиндр. Вернуть к раздельным телам. Вращать конус вокруг одной из общих образующих. Наблюдать появление кривой 3-его порядка. Вынести, показать ее пересечение с плоскостью в трех точках.

Напомнить пример пересечения конусов с общей осью и вершиной, один или оба из которых эллиптические.

Пересечение двух одинаковых гиперболоидов, у которых угол между асимптотами образующих гипербол равен 90° и совпадают центры гипербол.

Пример теоремы о проецировании кривой 4-ого порядка в кривую 2-ого порядка. На примере гиперболоида и цилиндра.

Касание в одной точке. Лемниската с греческого – бантик. Была в лекции лемниската Бернулли как сечение тора.

Показать бантик на примере пересечения гиперболоида и цилиндра. Построить окружность в плоскости гиперболы из произвольной точки, касательную к гиперболе. Из нее выдавить цилиндр.

Попутно напомнить теорему Монжа, проведя окружность с центром на оси гиперболоида.

Касание общей внутренней сферы – теорема Монжа.

Более сложный вариант – пересечение софокусных эллипсоидов. История этой задачи: рассмотрена Г. Монжем в его книге "Geometrie descriptive" ("Начертательная геометрия" Париж, 1798г.) с ошибочным выводом - он не увидел эллипсов и считал, что образуется пространственная кривая. Позднее, при переиздании уже в наши годы, в 1947 г., было сделано дополнение о том, что Монж ошибся и в пересечении возникает эллипс.

Построить софокусные эллипсоиды. Показать пересечение по эллипсу. Предложить (Для умных) найти касательный конус (вместо экзамена).

Пересечение двух сжатых эллипсоидов, касающихся изнутри общей сферы. Кто решит – освобождаю от экзамена. Показать файл: Лекция 11: Монж_эллипсоиды_nev.dwg

Лекция 16. Сложные варианты частных случаев пересечения поверхностей второго порядка (завершение)

Кто решил задачи на нахождение конуса к софокусным эллипсоидам и задачи о сжатых эллипсоидах внутри сферы?

Дата добавления: 2013-12-14